§5　5.2.1 平面与平面垂直的性质（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件(　　) A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l且AO⊂α，BO⊂β 解析：根据二面角的平面角定义可得D正确． 答案：D 2．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是(　　) A．相等　　　　　　　 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定 解析：当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补． 答案：C 3．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l　　　　　　　 B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 解析：因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l. 答案：C 4．已知平面α，β，直线m满足m⊄β，α⊥β，则“m⊥α”是“m∥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：设α∩β＝n，若m⊥α，则过β内一点A作n的垂线，垂足为B.因为α⊥β，α∩β＝n，AB⊂β，AB⊥n，所以AB⊥α.因为m⊥α，所以AB∥m，又m⊄β，AB⊂β，所以m∥β.故命题“若m⊥α，则m∥β”为真命题． 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD，BC∥平面AA1D1D，但BC与平面ABCD不垂直．故命题“若m∥β，则m⊥α”为假命题．故“m⊥α”是“m∥β”的充分不必要条件． 答案：A 5.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为(　　) A．60° B．30° C．45° D．15° 解析：由条件得PA⊥BC，AC⊥BC.又PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°. 答案：C 6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α(m，n是两条不同的直线)，则直线m与n的位置关系是________．(填“平行”“相交”或“异面”) 解析：因为平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以由面面垂直的性质可得n⊥α，又m⊥α，所以m∥n. 答案：平行 7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P-BC-A的大小为________． 解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°. 答案：90° 8．如图，在三棱锥P-ACD中，AD⊥CD，△PAD为正三角形，点F是棱PD的中点，且平面PAD⊥平面ACD.求证：AF⊥平面PCD. 证明：∵△PAD为正三角形， ∴AD＝PA，又F是PD的中点， ∴AF⊥PD. ∵平面PAD⊥平面ACD，平面PAD∩平面ACD＝AD，AD⊥CD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AF⊂平面PAD，∴CD⊥AF. 又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD. [B能力练] 9．第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为(　　) A．20° B．28° C．38° D．48° 解析：依题意得“斗冠”的高为60.3－33.3＝27米，如图，PE＝27米，ME＝(MN－EF)＝×(139.4－69.9)＝米，∠PME为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，tan∠PME＝＝＝≈0.78，因为tan 30°＝≈0.58，tan 45°＝1，且y＝tan x在上单调递增，0.58＜0.78＜1，所以30°＜∠PME＜45°. 答案：C 10．给出下列命题： ①如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β ； ②如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； ③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ. 其中正确命题的序号是________． 解析：①错，以正方体为模型，易知①错误；②正确，平行于α，β交线的直线，平行于β；③正确，可利用面面垂直、线面垂直的性质定理证明． 答案：②③ 11.如图所示，A，B，C，D为空