专题15 单调性问题-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题15单调性问题 【考点预测】 知识点一：单调性基础问题 1．函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2．已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【方法技巧与总结】 1．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 【题型归纳目录】 题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型二：求单调区间 题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围 题型四：不含参数单调性讨论 题型五：含参数单调性讨论 情形一：函数为一次函数 情形二：函数为准一次函数 情形三：函数为二次函数型 1.可因式分解 2.不可因式分解型 情形四：函数为准二次函数型 题型六：分段分析法讨论 【典例例题】 题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 例1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（       ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的单调性与导函数的关系判断即可； 【详解】 解：由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D； 当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，故排除B； 故选：A 例2．（2022·云南曲靖·二模（文））设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据导函数与函数的单调性及导数的几何意义判断即可； 【详解】 解：因为对任意，，恒成立， 所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以， 又，表示点与点的连线的斜率， 由图可知 即， 故选：A 例3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数图像判断f(x)单调性，作出其大致图像即