压轴题03：平行四边形综合专练20题-【挑战压轴题】2021-2022学年八年级数学下学期期末精选题汇编（人教版）

赢未来学科培优工作室原创系列--【挑战压轴题】20220606 压轴题03：平行四边形综合专练20题（解析版） 一、单选题 1．如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC、GC．则EC+GC的最小值是（　　） A．4 B．5 C．5 D．6 【答案】A 【分析】 如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．首先证明B，A，T共线，求出TC，证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE=CG，推出EC+CG=EC+ED=EC+TE，根据TE+EC≥TC即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接DE，AE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC═AD=4，∠ABC=90°，∠ADB=45°， ∵AE∥BD， ∴∠EAD=∠ADB=45°， ∵D，T关于AE对称， ∴AD=AT=4，∠TAE=∠EAD=45°， ∴∠TAD=90°， ∵∠BAD=90°， ∴B，A，T共线， ∴CT=， ∵EG=CD，EG∥CD， ∴四边形EGCD是平行四边形， ∴CG=DE， ∴EC+CG=EC+ED=EC+TE， ∵TE+EC≥TC， ∴EC+CG≥， ∴EC+CG的最小值为， 故答案为：A． 【点睛】 本题考查轴对称，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 2．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，连接下列结论：①；②；③；④，成立的个数有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，， 平分， 是等边三角形， ，， ， ， ，故①正确； 可得 ， ，故②错误； ， 为中点， ， ， ， ；故③正确； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故正确的个数为3个， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是关键． 3．已知：如图，中，，点是射线上一动点，以为一边向左画正方形．连接，取中点，则的最小值为（       ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】 证明△ACD≌△BCF，得到∠A=∠CBF=45°，可得∠ABF=90°，根据直角三角形斜边中线的性质可得，则将BQ转化为，利用等腰直角三角形的性质求出CD的最小值即可得到BQ． 【详解】 解：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACD+∠BCD=90°， ∵四边形CDEF为正方形， ∴CD=CF，∠DCF=90°， 即∠BCD+∠BCF=90°， ∴∠ACD=∠BCF，又AC=BC，CD=CF， ∴△ACD≌△BCF（SAS）， ∴∠A=∠CBF=45°， ∴∠ABF=90°，又点Q是DF中点， ∴， ∵， ∴， ∴当CD为最小值时，BQ取最小值， ∴当时，CD有最小值，此时D为AB中点， 而AB==8， CD最小值为AB=4， ∴BQ最小值为． 故选B． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是证明三角形全等，得到∠ABF=90°． 4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】 连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=6， ∵AP=CQ， ∴AD-AP=BC-CQ， ∴DP=QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB=DQ， 则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE， 则BE=2AB=8， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB=PE， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE， ∴CE==10， ∴PC+PB的最小值为10， 即PC+QD的最小值为10， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握