压轴题01：三角形的证明综合专练20题-【挑战压轴题】2021-2022学年八年级数学下学期期末精选题汇编（北师大版）

赢未来学科培优工作室原创系列--【挑战压轴题】20220606 压轴题01：三角形的证明综合专练20题（解析版） 一、单选题 1．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，作图即可. 【详解】 根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可， 故选：B． 【点睛】 本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法. 2．如图，在中，，，平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点O恰好重合，有如下五个结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．则上列说法中正确的个数是（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 利用三线合一可判断①；由折叠的性质可判断④；根据垂直平分线的性质得到OA=OB，从而计算出∠ACB=∠EOF=63°，可判断③；证明△OAB≌△OAC，得到OA=OB=OC，从而推出∠OEF=54°，可判断⑤；而题中条件无法得出OD=OE，可判断②． 【详解】 解：如图，连接OB，OC， ∵AB=AC，OA平分∠BAC，∠BAC=54°， ∴AO⊥BC（三线合一），故①正确； ∠BAO=∠CAO=∠BAC=×54°=27°， ∠ABC=∠ACB=×（180°-∠BAC）=×126°=63°， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB，即∠OAB=∠OBA=27°， 则∠OBC=∠ABC-∠OBA=63°-27°=36°≠∠OBA， 由折叠可知：△OEF≌△CEF，故④正确； 即∠ACB=∠EOF=63°≠60°，OE=CE，∠OEF=∠CEF， ∴△OEF不是等边三角形，故③错误； 在△OAB和△OAC中， ， ∴△OAB≌△OAC（SAS）， ∴OB=OC， 又OB=OA， ∴OA=OB=OC， ∠OCB=∠OBC=36°， 又OE=CE， ∴∠OCB=∠EOC=36°， ∴∠OEC=180°-（∠OCB+∠EOC）=180°-72°=108°， 又∠OEC=∠OEF+∠CEF ∠OEF=108°÷2=54°，故⑤正确； 而题中条件无法得出OD=OE，故②错误； ∴正确的结论为①④⑤共3个， 故选B． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及全等三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 3．如图，已知，线段，点为射线上一点，则下列结论正确的是（       ） ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当时，在射线上存在三个点使得为等腰三角形； ④当时，在射线上存在三个点使得为等腰直角三角形． A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】 过A作AH⊥OP于点H，求出AH的长，分别根据∠α的度数画出相应图形，利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质判断各结论． 【详解】 解：如图①所示：过A作AH⊥OP于点H， ∵OA=4，∠α=30°， ∴AH=OA=×4=2， 又AH⊥OP，AH=AB， ∴B与H重合， 则△AOB形状唯一确定，故①正确； 如图②所示，过点A作AH⊥OP于点H， ∵OA=4，∠α=45°，AH⊥OP， ∴AH=OH，， 即AH==＜=3， ∴AB＞AH， ∴当B在图②中B1，B2位置时，都能使得AB=3， 则△AOB不唯一，有2个，故②错误； 如图③所示，有3个B点使得△AOB为等腰三角形， 即AB1=AO=4，OB2=OA=4，B3A=B3O，故③正确； 如图④所示，AB⊥OA于点A时，△AOB1为等腰直角三角形， AB2⊥OP于点B2时，△AOB2为等腰直角三角形， OP上有2个点B使得△AOB为等腰直角三角形，故④错误； 即正确的结论为：①③， 故选A． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，确定三角形的条件，解题的关键是根据各种情况画出图形，结合图形的性质解答． 4．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（       ）个 A．2 B．3 C