压轴题06：平行四边形综合专练20题-【挑战压轴题】2021-2022学年八年级数学下学期期末精选题汇编（北师大版）

赢未来学科培优工作室原创系列--【挑战压轴题】20220606 压轴题06：平行四边形综合专练20题（解析版） 一、单选题 1．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④；成立的个数有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】 利用平行四边形的性质可得，，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，， 平分， 是等边三角形， ，， ， ， ，故①错误； 可得 ， ，故②错误； ， 为中点， ， ， ， ；故③不正确； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故正确的个数为1个， 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的性质，以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形是关键． 2．如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则▱ABCD的对角线AC的长为（　　） A． B．5 C．5 D．2 【答案】A 【分析】 过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，根据菱形的性质可知BC＝BD＝AD＝3，由∠BAD＝45°可知∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，依据勾股定理，在Rt△ABD中，AB＝AD＝，由∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°得出FC＝FB＝，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可求出AC＝． 【详解】 解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD， ∵在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E， ∴BC＝BD＝AD＝3， 又∵∠BAD＝45°， ∴∠ABD＝45°，∠ADB＝90°， ∴Rt△ABD中，AB＝AD＝， ∵∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°， ∴∠BCF＝45°， ∴FC＝FB＝， ∴Rt△ACF中， ， 故选：A． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 3．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AGBC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（　　）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． A．1或2 B．2 C．2或3 D．2或4 【答案】D 【分析】 分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】 解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm， 则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝8﹣3t， 解得：t＝2； 当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm， 则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝3t﹣8， 解得：t＝4； 综上可得：当t＝2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是平行四边形的判定与性质，几何动态问题，掌握数学分类思想，平行四边形的性质解决问题是解题的关键． 4．如图，已知是边长为6的等边三角形，点是线段上的一个动点（点不与点，重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交线段，于点，，连接和，则下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④当时，，其中正确的有（       ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】 判断BE与CD是否相等，可考虑与 是否全等；结合图形特征和已知条件，从∠BDE+∠ ADE+∠ADC=180°和∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°入手，判断∠ BDE与∠CAD能否相等；要判断四边形 BCGE能否是平行四边形，已知EG∥BC，只需判断EB与GC能否平行即可； 由已知可判断三角形AFG是等边三角形，过点 A作AH⊥EG于点H，分别求出AH和EF，则三角形AEF的面积可求，从而能判断结论是否正确． 【详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴，，． 又∵，， ∴． ∴≌（SAS）． ∴． 所以①正确； ∵， ， 又∵和都是等边三角形， ∴， ∴． 所以②正确； ∵ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 所以③正确； ∵ ∴BE=CD=2． ∵四边形BCGE是平行四边形， ∴CG=BE=2，EG=BC=6． ∵EG∥BC， ∴∠AFG=∠ABC=60°，∠AGF=∠ACB=60°． ∵∠FAG=60°， ∴是等边三角形． ∴AG=FG=AC-CG=6-2=4． ∴