压轴题03：图形的平移与旋转综合专练20题-【挑战压轴题】2021-2022学年八年级数学下学期期末精选题汇编（北师大版）

赢未来学科培优工作室原创系列--【挑战压轴题】20220606 压轴题03：图形的平移与旋转综合专练20题（解析版） 一、单选题 1．如图，在ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值（       ） A． B．3+ C． D．3+ 【答案】A 【分析】 将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．易证PA+PB+PC=PC+PF+EF，因为PC+PF+EF≥EC，推出当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，求出EC的长即可解决问题． 【详解】 解：将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC． 由旋转的性质可知：△PBF是等边三角形， ∴PB=PF， ∵PA=EF， ∴PA+PB+PC=PC+PF+EF， ∵PC+PF+EF≥EC， ∴当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小， 由旋转可知：BC=BE=BA=3，∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°， ∴EB⊥BC， ∴EC=BC=， ∴PA+PB+PC的最小值为， 故选A． 【点睛】 本题旋转变换，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 2．如图，在平面直角坐标系中，点点在轴的正半轴上，，现把绕点顺时针旋转30°得到，点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】 如图，过作轴于，在中，，，求出AB和的长，再利用，，可得到和的长，得到的坐标，代入一次函数即可得出结果． 【详解】 如图，过作轴于， 由题意知， ∵在中，，， ∴， 由勾股定理得， 在中． 则． 同理，由勾股定理得，， ∴， 将代入中， 得． 故选：D． 【点睛】 本题考查一次函数及应用，涉及旋转、30°的直角三角形性质及勾股定理，比较综合，解题的关键是求出的坐标． 3．如图，已知中，，，，若把绕点A逆时针旋转一个角度，使它与原的重叠部分为等腰三角形．则为（       ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】 由∠BAC=90°，AB=AC可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠ABC=∠ACB=45°，再由BD∥AC得∠ABD=∠BAC=90°，则利用互余可计算出∠BAD=60°，由于把△ABD绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°），使它与原△ABC的重叠部分为等腰三角形，而等腰三角形的腰不能确定，所以分类讨论：当AE=AF时，如图1，根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′AD=60°，可判断△AEF为等边三角形，得到∠1=∠2=60°，则可根据三角形外角性质可计算出∠BAB′=∠1-∠ABC=15°，即α=15°；当AFA=FC时，如图2，∠BAB′=α，根据等腰三角形的性质得∠ACB=∠FAC=45°，所以∠BAB′=45°，即α=45°，由此得到α的值为15°或45°． 【详解】 解：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵BD∥AC， ∴∠ABD=∠BAC=90°， ∵∠D=30°， ∴∠BAD=60°， 把△ABD绕点A逆时针旋转一个角度α（0＜α＜90°），使它与原△ABC的重叠部分为等腰三角形， 当AE=AF时，如图1，则∠BAB′=α，∠B′AD=60°， ∴△AEF为等边三角形， ∴∠1=∠2=60°， 而∠1=∠B+∠BAB′， ∴∠BAB′=60°-45°=15°， 即α=15°； 当AF=FC时，如图2，则∠BAB′=α， ∵∠ACB=45°， ∴∠FAC=45°， ∴∠BAB′=90°-45°=45°， 即α=45°； 综上所述，α的值为15°或45°． 故选：C． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质． 4．如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接，下列结论：①；②；③；④。其中正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 依据旋转的性质，即可得到∠BAF=∠CAD，AF=AD，BF=CD，进而得出△AED≌△AEF，根据AE与AD不一定相等，可得△ABE与△ACD不一定全等，再根据全等三角形的性质得到DE=EF，BF=CD，结合三角形的三边关系可得BE+DC＞DE；再判断出∠EBF=90°，利用勾股定理得到BE2+DC2=DE2． 【详解】 解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB， ∴△ABF≌△ACD， ∴AF=AD，∠CAD=∠BAF，