一题多解专题二：已知函数的单调性求参数范围问题

一题多解专题二：已知函数的单调性求参数范围问题 已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则 ;若函数单调递减,则 ”来求解. 例：若函数 在 上单调递减,求实数 的取值范围. 思路点拨: 先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解. 解析：方法一：由 在 上单调递减知 ，即 在 上恒成立, 即 在 上恒成立.故只需 , 故 . 综上可知， 的取值范围是［3,+∞). 方法二：当 时， ,故 在 上单调递增，与 在 上单调递减不符，舍去. 当 时，由 得 ≤x≤0，即 的单调递减区间为 ，与 在 上单调递减不符，舍去. 当 时，由 得0≤x≤ ，即 的减区间为 ，由 在 上单调递减得 ,得a≥3. 综上可知， 的取值范围是［3,+∞). 针对性练习： 1．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是(　　) A．b＜－1或b＞2 B．b≤－2或b≥2 C．－1＜b＜2 D．－1≤b≤2 解析　D　由题意，得y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0在R上恒成立，∴Δ＝4b2－4(b＋2)≤0， 解得－1≤b≤2. 2．函数f(x)＝(2－a)x2－2ax＋5在区间[－1,1]上不单调，则a的取值范围是________． x3＋ 　解析　f′(x)＝x2＋(2－a)x－2a＝(x＋2)(x－a)＝0的两根为x1＝－2，x2＝a.若f(x)在[－1,1] 上不单调，则－1<a<1. 3．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________． 　 解析　由题意知，f′(x)＝3x2－a在[1，＋∞)上有3x2－a≥0恒成立，∴a≤(3x