一题多解专题三：利用导数证明不等式问题

一题多解专题三：利用导数证明不等式问题 1.构造函数证明不等式的方法 (1) 对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如 f(a)>f(b)的形式. (2)对形如f(x)>g(x),构造函数F(x)= f(x)-g(x). (3)对于(或可化为) 的不等式,可选 (或 )为主元,构造函数 (或 ). 2.利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x). (3)对h(x)求导. (4)利用 判断h(x)的单调性或最值. (5)结论. 例：设 为常数），曲线 与直线 在(0，0)点相切. (1)求 的值. (2)证明：当 时， . 【解题指南】(1)点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程；同时据导数的几何意义可以建立 另一个方程，求出a,b; (2) 构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证明不等式 【解析】方法一：（1）由 的图象过点（0，0）得b=-1； 由 在点（0，0）的切线斜率为 ， 则. （2）当 时， ， 令 ，则 . 令 ，则当 时， 因此 在（0,2）内是递减函数，又 ， 则 时， 所以 时， ，即 在（0,2）内是递减函数， 由 ，则 时， ， 故 时， ，即 . 方法二：由（1）知， 由基本不等式，当 时， （i) 令 ，则 ， 故 ，即 （ii） 由（i)、（ii）得，当 时， ， 记 ，则当 时， 因此 在（0,2）内是递减函数，又 ，得 ， 故 时， . 针对性练习： 1．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的