一题多解专题四：利用正（余）弦定理判断三角形形状

一题多解专题四：利用正（余）弦定理判断三角形形状 判定三角形形状通常有两种途径： 一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如： ， 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如：sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A+B＝ 等； 二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断. 例：在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a,b,c，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，试判断△ABC的形状. 思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和 边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系. 方法一：由正弦定理得 ，∵2cos Asin B=sin C， ，由余弦定理的推论得 ∴ ， 化简得 ，∴a=b； 又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab，∴ ， 化简得 ，∴b=c，∴a=b=c，即△ABC是等边三角形. 方法二：∵A+B+C=π，∴sin C=sin(A+B)，又2cos Asin B=sin C， ∴2cos Asin B=sin(A+B)， ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B， ∴sin Acos B-cos Asin B=0，∴sin(A-B)=0， ∵A,B∈(0,π)，∴A-B∈(-π,π)， ∴A=B， 又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab， ∴ ，即 ， 由余弦定理的推论得 又C∈(0,π)， ，又A=B，∴△ABC是等边三角形. 规律总结：应用正弦定理进行判断或证明的方法： ①判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系； ②利用正弦定理化边为角或化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或三角具有的 关系； ③判断三角形的形状的常见结果有