一题多解专题五：向量在平面几何中的应用

一题多解专题五：向量在平面几何中的应用 解三角形与向量知识综合问题的方法： (1)解三角形的问题中含有向量时，通常需要把边长与向量的模相联系，三角形的内角与向 量夹角相联系，注意向量夹角与三角形内角的相等关系或互补关系. (2)应用余弦定理求出未知的边长和角，从而易于求出向量的有关问题. 例：若等边△ABC的边长为 ，平面内一点M满足 ，则 ＝__________. 思路点拨：一种方法是建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可;另一种方 法是将 用 表示,然后用数量积的定义计算. 方法一:以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图(1)所示的 平面直角坐标系，根据题设条件可知 设 ，则 由 得： ， 点M的坐标为 ， EMBED Equation.KSEE3 . 方法二：由于 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 又 是边长为 的等边三角形， ， 特别提醒:用向量知识解决平面几何问题的两个关注点 (1)若可以建立平面直角坐标系，则建系后用向量的坐标运算较容易解决. (2)若不易建系，则先选取一组基底，基底中的向量最好可知模及两者之间的夹角，然后将 问题中出现的向量用基底表示，再用向量的运算法则、运算律等进行计算.针对性练习： 1.在正三角形ABC中，D是BC边上的点，AB=3，BD=1，则 =________. 解析:方法一：如图（2）所示，B=60°， 由余弦定理得AD2=32+12-2×3×1×cos 60°=7, ∴AD= ， 再由余弦定理得cos ∠BAD= ， 所以 . 方法二：∵ = =9+3×1× . 2.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为________. 【解析】方法一：如图(3)所示，以AB，AD所在直线分别为x,y轴 建立平面直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则 ， C(1，1)， =(t,-1), =