一题多解专题六：等差数列前项和的最值问题

一题多解专题六：等差数列前 项和的最值问题 求等差数列前n项和 最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式 ，通过配方或借助图象求 二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法： ① 时，满足 的项数m使得 取得最大值为 ； ②当 时，满足 的项数m使得 取得最小值为 . 例、等差数列 前n项和为 ，已知 ，当 最大时，n的值是( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析：选C.方法一：由 得 ，根据等差数列性质可得 ， 根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到 ，故n=7 时， 最大. 方法二：由 可得 ，把 代入得 ，故 ，根据二次函数性质，当n=7时， 最大. 方法三：根据 , ，知这个数列的公差不等于零.由于 说明这个数 列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n项 和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当 时，只有 时， 取得最大值. 针对性练习： 1.已知在等差数列 中， ， 是它的前n项的和， . ①求 ； ②这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：①∵ ， ，又 ， ∴ ，则 ，又 ， ∴ 。 ②方法一：由①中可知 ， ∴当n＝16时， 有最大值， 的最大值是256. 方法二：由 ，可得 . 由 a，得 ；由 ,得 n； 又n为正整数，所以当n=16时， 有最大值256. 2、设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围.(2)求{an}前n项和Sn最大时n的值. 解析：(1)∵S12>0,S13<0,∴ ∴- ＜d<-3. (2)由 知a7<0, S12=6(a1+a12)=6(