2016年四川省宜宾市文化培训学校高中数学竞赛抽屉原理与极端原理人教版

抽屉原理与极端原理 一、抽屉原理 美国一家杂志上曾刊登这样一副漫画：三只鸽子同时往两个鸽笼里飞。这是一副含义深刻的漫画，它有趣的揭示了抽屉原理：三只鸽子同时飞进两个鸽笼里，则一定有一只鸽笼里至少飞进两只鸽子。抽屉原理俗称鸽笼原理，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet 1805--1859)运用于解决数学问题的，所以抽屉原理又叫狄利克雷原理。 1．抽屉原理 （1）第一抽屉原理 设有 个元素分属于 个集合（其两两的交集可以非空），且 （ 均为正整数），则必有一个集合中至少有 个元素。 （2）第二抽屉原理 设有 个元素分属于 个两两不相交的集合，且 （ 均为正整数），则必有一个集合中至多有 个元素。 （3）无限的抽屉原理 设有无穷多个元素分属于 个集合，则必有一个集合中含有无穷多个元素。 2．平均值原理 设 ，且 ， 则 中必有一个不大于 ，亦必有一个不小于 ； 中必有一个不大于 ，亦有一个不小于 。 3．面积重叠原理 个平面图形 的面积分别为 ，将它们以任意方式放入一个面积为 的平面图形 内。 （1）若 ，则存在 ，使图形 与 有公共内点； （2）若 ， 则 存在一点，不属于图形 中的任意一个。 以上命题用反证法很容易证明，大家可以自行完成。 一般来说，适合应用抽屉原理解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性.如 个苹果放入 个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果. 对一个具体的可以应用抽屉原理解决的数学问题还应搞清三个问题： （1）什么是“苹果”？ （2）什么是“抽屉”？ （3）苹果、抽屉各多少？ 用抽屉原理解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原理缩小范围，使之在一个特定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单明确. 用抽屉原理解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律.关键是构造适合的抽屉，抽屉之间可以有公共部分，亦可以没有公共部分。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。这一简单的思维方式在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的