一题多解专题七：利用基本不等式求最值

一题多解专题七：利用基本不等式求最值 适用人教新课标A版必修5第11期 第四版 素质提高 帮你归纳 作者：郭天总 河北省永年县第二中学 电话：13930017591 邮编：057151 电子信箱：gtzong31@qq.com 用基本不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,三个条件必须同时具备，才能应用，即“一正，二定，三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键.此外，若两次连用均值不等式，要注意取等号的条件的一致性，否则可能会出错.因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立的条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法. 例、已知正数a,b满足 ，求 的取值范围。 思路点拨：一种思路是根据划归思想，二元转化为一元，即利用 将 中的b 用a表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对 变形，获得 与ab的关系，然后利用解不等式消去ab建立 的不等式求解. 解析：方法一：由 得 ， ，由于a>0,b>0，可得 ， 于是 ， 当 ，即 时取等号， 的取值范围是 方法二：由 得 . 又 ， 所以 ，即4(a+b)≤ ，所以 ， 即 的取值范围是 方法三：由 得 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的取值范围是 方法四：由 得 （1） 设 ，则 ，代入（1）式得 整理得 ，又由 得 ， 即方程 在 上有解， 令 ，则 解得 ， 所以 的取值范围是 运用基本不等式求最值的技巧： 1、含有多个变量的条件最值问题，一种方法是