专题1.4 二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（知识讲解） 【学习目标】 1、准确掌握二次函数y=ax2(a≠0)图象的形状、开口方向、对称轴和顶点的坐标； 2、经历用描点法画函数图象的过程,感受数形结合的思想和方法,能够由图像直观地观察得到函数的性质； 【要点梳理】 【知识点一】二次函数y=ax2(a≠0)的图象 二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图象都是抛物线，y轴是抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点。 用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象 （1）按步骤列表、描点、连线。 （2）用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在O（0,0）点左右两侧（或在对称轴左右两侧）对称的选取自变量x的值，在计算y的值，这样的对应值选择月密集，描出的图象越精准。通常情况下，画图一般选取9个点，草图通常取5或7个点，但必须画出抛物线的顶点，然后对称的取其他各点。实际问题应在自变量取值范围内选取适当的几个点，一般选7个点，再进行描点。连线时要注意图象的平滑，特别是顶点处更要注意，不能画得太平或者太尖，要顺势用平滑曲线连接。 【知识点2】 二次函数y=ax2(a≠0)的性质 （1）二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线。我们把二次函数y=ax2（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2(a≠0)。 （2）抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴（即直线x=0），顶点是原点。 （3）当a>0时，抛物线y=ax2(a≠0) 的开口向上，顶点是它的最低点，抛物线在x轴上方（顶点在x轴上），并且向上无限延伸； 当a<0时，抛物线y=ax2(a≠0)的开口向下，顶点是它的最高点，抛物线在x轴下方（顶点在x轴上），并且向下无限延伸。 （4）当a＞0时，在y 轴左侧，y随x的增大而减小，在y 在右侧，y随x的增大而减大，函数y的值，当x=0时最小，最小值是0； 当a＜0时，在y 在左侧，y随x的增大而增大，在y 在右侧，y随x的增大而减小，函数y的值，当x=0时最大，最大值是0。 （5）当a的绝对值越大，图象越靠近y轴，抛物线开口越窄； 当a的绝对值越小，图象越远离y轴，抛物线开口越宽。 【知识点3】 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质列表如下： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大； x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时， y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小； x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时， y最大=0 【典型例题】 类型一、 1．通过列表、描点、连线的方法画函数y=的图象． 【答案】见分析 【分析】 首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象． 解：列表得： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … 描点、连线． 【点拨】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图像的基本步骤，是求解本题的关键． 举一反三： 【变式1】已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 【答案】（1）函数图象见分析；（2）；1；大；0． 【分析】 （1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可； （2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点． 解：（1）根据图象的作法，找出，，三个点坐标，对称轴为，顶点坐标为：，用光滑的曲线连接即可； （2）根据函数图象可得：当时，y随x增大而减小； 当时，，即当时，y有最大值，最大值为0， 故答案为：；1；大；0． 【点拨】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 【变式2】 画出二次函数y＝x2的图象． 【答案】图像见分析. 【分析】 建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可． 解：函数y＝x2的图象如图所示： 【点拨】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用． 类型二、 2．一个二次函数． （1）求k的值． （2）求当x=3时，y的值？ 【答案】（1）k=2；（2）14 【分析】 （1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可． 解：（1