专题1.3 二次函数的性质（知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题1.3 二次函数的性质 （知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数y=ax²(a≠0)的图象的性质 2 知识点梳理02：二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象的性质 3 知识点梳理03：二次函数y=ax²(a≠0）与y=ax²+c(a≠0）之间的关系；（上加下减）. 3 知识点梳理04：二次函数y=ax²+bx+c的图像 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：把y=ax²+bx+c化成顶点式 4 考点2：画y=ax²+bx+c的图象 5 考点3：y=ax²+bx+c的图象与性质 6 考点4：二次函数图象与各项系数符号 6 考点5：一次函数、二次函数图象综合判断 7 考点6：反比例函数、二次函数图象综合判断 8 考点7：两个二次函数图象综合判断 8 考点8：根据二次函数的图象判断式子符号 9 考点9：待定系数法求二次函数解析式 10 考点10：二次函数图象的平移 11 考点11：已知抛物线上对称的两点求对称轴 11 考点12：根据二次函数的对称性求函数值 11 考点13：y=ax²+bx+c的最值 12 考点14：利用二次函数对称性求最短路径 12 考点15：求抛物线与x轴的交点坐标 13 考点16：求抛物线与y轴的交点坐标 14 考点17：已知二次函数的函数值求自变量的值 14 考点18：抛物线与x轴的交点问题 15 考点19：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 15 考点20：求x轴与抛物线的截线长 16 考点21：图象法确定一元二次方程的近似根 16 考点22：图象法解一元二次不等式 17 考点23：利用不等式求自变量或函数值的范围 17 考点24：根据交点确定不等式的解 18 中考真题 实战演练 19 难度分层 拔尖冲刺 20 基础夯实 20 培优拔高 22 知识点梳理01：二次函数y=ax²(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 知识点梳理02：二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 知识点梳理03：二次函数y=ax²(a≠0）与y=ax²+c(a≠0）之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点诠释： 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 知识点梳理04：二次函数y=ax²+bx+c的图像 二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式． 任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式． 对配方得：． 由此可知： 抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）． 当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 考点1：把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知二次函数． (1)二次函数图象的顶点坐标为_________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围是_________． 【变式训练】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知二次函数，求出该函数图象的顶点坐标和对称轴． 考点2：画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数与轴有两个交点． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求此时的二次函数的解析式，并化为顶点式，画出该函数的图象． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 考点3：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数 (1)完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … (2)结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 【变式训练】（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数（）的图象如图所示，有以下5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点4：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（25-26九年级上·广东·期中）如图是二次函数的部分图象，有下列结论：①方程的两个根是，；②；③（为实数）；④若点，为抛物线上两点，当，且时，有，其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式训练】（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 考点5：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林·阶段练习）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·四川眉山·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（　　） A． B． C． D． 考点6：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则下面各点有可能在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 考点7：两个二次函数图象综合判断 【典例精讲】（22-23九年级上·全国·单元测试）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 【变式训练】（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 考点8：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中结论正确的是（　　） A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且该抛物线与轴相交于点，与轴的交点在和之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程两根为，，则．其中正确的是（   ） A．④ B．③④ C．①②④ D．①③④ 考点9：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（23-24九年级上·云南大理·期中）如图，抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)点是对称轴上一点，当达到最小值时，求点的坐标． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于x二次函数 过 (1)填空∶ ， (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为8，求m的范围； (3)已知，若线段与抛物线有交点，求n的取值范围． 考点10：二次函数图象的平移 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线向下平移个单位长度后的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·福建厦门·期中）把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 考点11：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（25-26九年级上·广东东莞·期中）抛物线经过点，，则这条抛物线的对称轴是（  ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·期中）二次函数的图象经过和两点，若方程有一根为，则另一根为 ． 考点12：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）抛物线的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的对称轴为，图象上有四点，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点13：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线，则函数的最小值是（   ） A． B．72 C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）二次函数，当时， y的范围 ． 考点14：利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出点的对应点． (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点，使的值最小．求点的坐标和的最小值． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： 当时，；若，则；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；图象上有两点和，若，且，则， 其中真命题的个数有（　 ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点15：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）坐标平面上，若移动二次函数 的图像，使其与 轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（    ） A．向上平移 个单位 B．向右平移个单位 C．向下平移 个单位 D．向下平移 个单位 【变式训练】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当时，请直接写出x的取值范围． 考点16：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式及点坐标； (2)是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 考点17：已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】（25-26九年级上·天津红桥·期中）已知二次函数，当时，的值为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·河南开封·阶段练习）已知二次函数． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，请直接写出的取值范围． 考点18：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交点C的纵坐标y满足，根据图象判断以下结论： ①；②；③关于x的一元二次方程（）两个根为和1；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式训练】（25-26九年级上·广东东莞·期中）（1）解方程：． （2）已知抛物线与轴只有一个交点，求的值． 考点19：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁营口·期中）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： (1)求抛物线的解析式及的值； (2)方程的根是________； (3)当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【变式训练】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为 ． 考点20：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）抛物线过点，对称轴是直线，且在x轴上截取的线段长度为，则抛物线的表达式为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线 （填题序号即可）． 考点21：图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 考点22：图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【变式训练】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知二次函数． (1)求证：该二次函数图象与轴有两个交点； (2)当时，结合函数图象说明当时的取值范围． 考点23：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线的图象经过点和点． (1)求该抛物线的解析式． (2)当时，求该抛物线中y的取值范围． (3)将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． (4)当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 考点24：根据交点确定不等式的解 【典例精讲】（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数． (1)该函数的顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． (2)根据图象回答：时，的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，的取值范围是 ． 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点的横坐标在0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 1．（2024·辽宁抚顺·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·中考真题）如图，二次函数经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空：不等式的解集为_________________． 3．（2024·全国·中考真题）如图，抛物线：与抛物线：交于点，以下结论：①无论x取何值，总是正数；②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④若直线与抛物线，有3个公共点时，则，说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）当时，二次函数为与轴有且只有一个公共点，则的取值范围是 ． 5．（2024·浙江宁波·中考真题）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 基础夯实 1．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象与轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 2．（25-26九年级上·北京·期中）二次函数的图象向右平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴交于正半轴 D．当时，随的增大而减小 4．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是 ． x 0 1 y 3 5．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象开口向下，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式 ． 6．（25-26九年级上·江西新余·期中）已知点为二次函数的图象上的两点，则的大小关系为 . 7．（25-26九年级上·江西新余·期中）二次函数的对称轴为直线 . 8．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； 9．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知抛物线 ． (1)求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？ 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)写出抛物线的顶点坐标：______； (3)当时，直接写出y的取值范围：______． 培优拔高 11．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数 的图象如图所示，其对称轴是直线 给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 12．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）将二次函数的图象向上平移m个单位长度，使其经过点，则m的值为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 14．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有 ． 15．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么 ． 16．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ． 17．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）作抛物线关于轴对称后经过点，则的值为 ． 18．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)直接写出该抛物线的对称轴； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 19．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知抛物线，其中，且． (1)求抛物线的对称轴和抛物线与x轴的交点坐标． (2)证明：抛物线的顶点A在第三象限． 20．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求二次函数的表达式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ； (4)当时，函数值，直接写出n的取值范围 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 二次函数的性质 （知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共73题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数y=ax²(a≠0)的图象的性质 2 知识点梳理02：二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象的性质 2 知识点梳理03：二次函数y=ax²(a≠0）与y=ax²+c(a≠0）之间的关系；（上加下减）. 3 知识点梳理04：二次函数y=ax²+bx+c的图像 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：把y=ax²+bx+c化成顶点式 4 考点2：画y=ax²+bx+c的图象 5 考点3：y=ax²+bx+c的图象与性质 8 考点4：二次函数图象与各项系数符号 11 考点5：一次函数、二次函数图象综合判断 12 考点6：反比例函数、二次函数图象综合判断 14 考点7：两个二次函数图象综合判断 15 考点8：根据二次函数的图象判断式子符号 17 考点9：待定系数法求二次函数解析式 20 考点10：二次函数图象的平移 23 考点11：已知抛物线上对称的两点求对称轴 23 考点12：根据二次函数的对称性求函数值 25 考点13：y=ax²+bx+c的最值 26 考点14：利用二次函数对称性求最短路径 27 考点15：求抛物线与x轴的交点坐标 30 考点16：求抛物线与y轴的交点坐标 32 考点17：已知二次函数的函数值求自变量的值 33 考点18：抛物线与x轴的交点问题 34 考点19：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 36 考点20：求x轴与抛物线的截线长 38 考点21：图象法确定一元二次方程的近似根 40 考点22：图象法解一元二次不等式 41 考点23：利用不等式求自变量或函数值的范围 43 考点24：根据交点确定不等式的解 45 中考真题 实战演练 48 难度分层 拔尖冲刺 52 基础夯实 52 培优拔高 57 知识点梳理01：二次函数y=ax²(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 知识点梳理02：二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 知识点梳理03：二次函数y=ax²(a≠0）与y=ax²+c(a≠0）之间的关系；（上加下减）. 的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象. 要点诠释： 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同． 函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 知识点梳理04：二次函数y=ax²+bx+c的图像 二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式． 任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式． 对配方得：． 由此可知： 抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）． 当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 考点1：把y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例精讲】（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知二次函数． (1)二次函数图象的顶点坐标为_________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围是_________． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （3）计算出函数图象上的点坐标，描点连线即可； （4）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． 【规范解答】（1）解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：函数图象过，描点连线即可； （3）解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知二次函数，求出该函数图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】顶点坐标为，对称轴为直线 【思路点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．将二次函数解析式化为顶点式求解． 【规范解答】解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 考点2：画y=ax²+bx+c的图象 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数与轴有两个交点． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数时，求此时的二次函数的解析式，并化为顶点式，画出该函数的图象． 【答案】(1)且 (2)，画出该函数的图象见解析 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）由二次函数与轴有两个交点可知，， 从而可求得的取值范围； （2）先求得的最大整数值，从而可求得二次函数的解析式，将二次函数的解析式化成顶点式，再利用描点法画出函数图象即可． 【规范解答】（1）解：二次函数与轴有两个交点， ，， 解得且； （2）解：由（1）知，且， 取最大整数， ，此时， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，即， 当时，即，解得， 利用描点法画出该函数的图象如下： 【变式训练】（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得； （2）利用描点法画出函数图象即可得； （3）结合函数图象，找出当时，的最大值与最小值即可得． 【规范解答】（1）解：将二次函数化成顶点式为， 所以这个二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：当时，，解得或， 当时，，解得或， 利用描点法画出二次函数的图象如下： ． （3）解：结合函数图象可知，当时，． 考点3：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数 (1)完成下表，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； x … 0 … y … 4 … (2)结合图象，若点均在该二次函数的图象上，请比较和的大小． 【答案】(1)1；0；1；4；见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象，可得该二次函数的对称轴是直线，从而得到关于对称轴的对称点坐标是，求解即可． 【规范解答】（1）解：完成表格，如下： x … 0 … y … 4 1 0 1 4 … 在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象，如下图： （2）解：由图象可知，该二次函数的对称轴是直线， ∴关于对称轴的对称点坐标是， 又∵抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵点在该二次函数的图象上，， 【变式训练】（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数（）的图象如图所示，有以下5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由开口方向，，以及抛物线与轴的交点在轴的上方即可判断符号，即可判断①；由于抛物线与x轴有两个交点，则，即可判断②；由抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线，则抛物线与x轴另一个交点，当，即可判断③；由于时，，时，，则，运用平方差公式化简判断④；当时，，则，故，即可判断⑤． 【规范解答】解：开口向下，； 对称轴在轴的右侧，， 则； 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴， 所以①正确； 由于抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点， ∴当，故③正确； ∵时，， 时，， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴当时，， ∴ ∴，故⑤错误， ∴正确的有4个， 故选：C． 考点4：二次函数图象与各项系数符号 【典例精讲】（25-26九年级上·广东·期中）如图是二次函数的部分图象，有下列结论：①方程的两个根是，；②；③（为实数）；④若点，为抛物线上两点，当，且时，有，其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键． 根据二次函数图象的对称性、函数图象对称轴和函数最值的判断逐项进行分析即可； 【规范解答】由图象可知，抛物线与轴的交点为，， 方程的两个根是，，故①不正确； 当时，， ， ， ，故②不正确； 函数图象开口方向向上，对称轴为， 当时，为最小值， ， ， ， ， ，故③正确； 当时，，时，， ∵二次函数对称轴且图象开口向上， 时函数有最小值， 时，随增大而增大， 当且时，，故④正确； 综上所述，正确的有③④． 故选． 【变式训练】（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 【答案】一 【思路点拨】本题考查的是二次函数图象及性质，系数符号的确定是解题关键．根据对称轴的位置、开口方向、函数与y轴的交点的位置判断出的符号即可求解． 【规范解答】解：抛物线开口向下， ， 又对称轴在轴左侧， ， ， 二次函数与y轴的交点在y轴正半轴， ， 在第一象限， 故答案为：一． 考点5：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林·阶段练习）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【规范解答】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·四川眉山·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】考查二次函数及一次函数的图像的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数、一次函数图像与系数的关系逐项判断即可． 【规范解答】解：一次函数和二次函数都经过轴上的， 两个函数图象交于轴上的同一点，排除D； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除A； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B； 故选：C． 考点6：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分，讨论即可． 【规范解答】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项A，B，C，D都不符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴， 反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则下面各点有可能在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及二次函数的图象，由二次函数图象开口向上找出是解题的关键． 根据抛物线的开口方向可得出，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可找出点可能在反比例函数的图象上． 【规范解答】解：∵二次函数图象开口向上， ∴二次项系数是正数，即， ∴反比例函数图象位于第一、三象限， ∴有可能位于反比例函数图象上的点必须位于第一或第三象限， 又∵位于第一、三象限的点的横纵坐标同号， ∴C选项正确． 故选： C． 考点7：两个二次函数图象综合判断 【典例精讲】（22-23九年级上·全国·单元测试）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 【答案】或 【思路点拨】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【规范解答】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【变式训练】（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质，根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，注意：二次函数的越大，图像开口越小． 【规范解答】解：设，， 由图像知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图像开口大于函数的图像开口， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上， A．图像开口向下，对称轴在轴的左侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故选项符合题意； B．图像开口向上，故选项不符合题意； C．图像对称轴在轴的左侧，故选项不符合题意； D．图像开口向上，故选项不符合题意． 故选：A． 考点8：根据二次函数的图象判断式子符号 【典例精讲】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中结论正确的是（　　） A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．①由抛物线的开口方向、对称轴及与y轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，结论①错误；②由抛物线的对称轴为直线，可得出，结论②正确；③由抛物线的对称性结合当时，可得出当，进而可得出，结论③正确；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出，结论④正确．综上即可得出结论． 【规范解答】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，结论①错误； ②抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，结论②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，当时， ∴当时， ∴，结论③正确； ④，， ∵抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口向下， ∴，结论④正确． 综上所述：正确的结论有②③④． 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且该抛物线与轴相交于点，与轴的交点在和之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程两根为，，则．其中正确的是（   ） A．④ B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与x轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可． 【规范解答】解：由图可知抛物线开口向上，，对称轴为直线，即， ∴， ∵与y轴的交点B在之间（不含端点）， ∴， ∴，故①不正确； 对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点， ∴与x轴交于另一点为， ∴当时，，故②不正确； 由题意可得方程的两个根为， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可知：， ∴， ∵， ∴，解得：，故③正确； 由方程的两个根，可看作直线与函数的交点，如图， 由图象可知：若方程两根为，则，故④正确； 综上所述，正确的结论是③④， 故答案为：B． 考点9：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（23-24九年级上·云南大理·期中）如图，抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)点是对称轴上一点，当达到最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) ， (2) 【思路点拨】本题主要考查二次函数解析式的求解（待定系数法）、二次函数对称轴的计算、利用轴对称求最短路径问题，掌握通过轴对称转化线段长度以简化最值问题，结合图形中的平行关系和比例关系推导点的坐标是解题的关键． （1）先将点、的坐标代入抛物线解析式，通过解方程组求出对应的值，得到抛物线解析式并计算其对称轴； （2）利用轴对称性质，过对称轴作点的对称点，连接交对称轴于点（此时最短），最后通过分析图形中线段的平行关系和线段的比例关系，计算出点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵抛物线过点，， 代入得：， 解得：， ∴， 对称轴：． （2）解：如图，作点关于对称轴的对称点，交对称轴于点，连接，交对称轴于点，此时最短， ， ∵点和点关于对称轴为对称，， ∴，，， ∴，点的横坐标为2， ∵点在抛物线的轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于x二次函数 过 (1)填空∶ ， (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为8，求m的范围； (3)已知，若线段与抛物线有交点，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)或 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数值，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）把代入即可解答； （2）先求出当时，，先求出当时，抛物线有最大值，根据，结合函数图像的对称轴，求出结果即可； （3）先求出抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为，，得出线段与抛物线只有1个交点，分两种情况：当线段与抛物线在对称轴左侧有交点时，当线段与抛物线在对称轴右侧有交点时，分别求出的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：把代入可得， ，解得， 故答案为：；； （2）解：由（1）得， 对称轴为直线， 当时，， 当时，， ， 二次函数的最大值为，最小值为， ， ； （3）解：把代入， 得， 解得：或， 此时抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为， ，， ， 线段与抛物线只有1个交点， 当线段与抛物线在对称轴左侧有交点时，且， 此时； 当线段与抛物线在对称轴右侧有交点时，且， ； 综上所述，或． 考点10：二次函数图象的平移 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线向下平移个单位长度后的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数的图像与几何变换，根据“上加下减”的规律进行解答即可，熟知函数图像平移的规律是解题的关键． 【规范解答】解：∵向下平移个单位长度， ∴新解析式为， ∴故选：． 【变式训练】（25-26九年级上·福建厦门·期中）把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查二次函数图象的平移规律，遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则即可求解． 【规范解答】解：∵抛物线向左平移3个单位， ∴ 变为，得； ∵ 再向下平移2个单位， ∴ ； ∴ 所得抛物线的解析式为， 故选A． 考点11：已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例精讲】（25-26九年级上·广东东莞·期中）抛物线经过点，，则这条抛物线的对称轴是（  ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 抛物线经过点，，两点纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，据此进行计算求解即可． 【规范解答】解：抛物线经过点，，且纵坐标相等， 两点关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为，即直线． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·期中）二次函数的图象经过和两点，若方程有一根为，则另一根为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，用表示出，是本题解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，从而可以将另一个解用表示出来，然后令，从而得到，，的方程组，用表示出，代入原解析式，将点代入求解值，即可得到另一个解． 【规范解答】解：二次函数经过和， 二次函数的对称轴为直线：， 令，则或， ， 方程有一根为， 其另一个根为， 或， 或， 代入二次函数解析式得：， 将，代入二次函数解析式： ， 解得：或， 或． 故答案为：或． 考点12：根据二次函数的对称性求函数值 【典例精讲】（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）抛物线的部分图象如图所示，当时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次函数的图象和性质，对称性求出抛物线与轴正半轴的交点坐标，图象法求出的取值范围即可． 【规范解答】解：由图象可知，二次函数图象与轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线， ∴二次函数图象与轴的另一个交点的坐标为， 由图象可知，当时，或； 故选D． 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数的对称轴为，图象上有四点，，，，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．先分析二次函数的图像性质，然后根据点到对称轴的距离来判断函数值大小即可． 【规范解答】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，有最大值，对称轴处函数值最大，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴． 故选：A． 考点13：y=ax²+bx+c的最值 【典例精讲】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知抛物线，则函数的最小值是（   ） A． B．72 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，将函数化为一般二次函数形式，根据开口方向判断有最小值，通过求顶点坐标或配方法得到最小值． 【规范解答】解：∵， 又∵， ∴抛物线开口向上，有最小值． 顶点横坐标， 代入得 ∴ 函数的最小值为， 故选D 【变式训练】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）二次函数，当时， y的范围 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据开口确定最大值，再分别计算出，时的函数值，即可求解取值范围． 【规范解答】解：∵，， ∴开口方向向下，对称轴为直线：，在对称轴处取得最大值， 则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，， ∴当时，y的范围是， 故答案为：． 考点14：利用二次函数对称性求最短路径 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出点的对应点． (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点，使的值最小．求点的坐标和的最小值． 【答案】(1)； (2)详见解析； (3)作图见解析，，的最小值为 【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质、待定系数法及两点间线段最短的原理，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性，即可求解； （2）连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； （3）根据二次函数的对称性，在对称轴上的点，易得，即当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长．连接交对称轴于点，点即为所求，连接．先求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标． 【规范解答】（1）解：点关于对称轴的对称点为点，对称轴是直线， 点为； （2）解：如图所示，连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； （3）解：当时，， 点为， 如图所示，连接交对称轴于点，点即为所求，连接， 点为， ， 点关于对称轴的对称点为点， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 设直线的解析式为， 将点、点代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在抛物线的对称轴上， ， 则点，的最小值为． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： 当时，；若，则；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；图象上有两点和，若，且，则， 其中真命题的个数有（　 ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 错误，由图象知：当时，； 错误，当时，； 正确，作E关于x轴的对称点，连接如图，的周长的最小值为； ④正确，函数图象在时，y随x增大而减小，则． 【规范解答】解：由图象知：当时，，故错误； ②抛物线的对称轴是直线 当时，，故错误； 作E关于x轴的对称点，连接如图所示： 当时，， 与E关于x轴对称， 的周长的最小值就是C、M、三点共线时取到为， 的周长的最小值为，故正确． 设关于对称轴的对称的数为 函数图象在时，y随x增大而减小， 正确． 故选C． 考点15：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）坐标平面上，若移动二次函数 的图像，使其与 轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（    ） A．向上平移 个单位 B．向右平移个单位 C．向下平移 个单位 D．向下平移 个单位 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数平移与交点距离的关系，通过顶点式简化计算，垂直平移改变交点距离．原函数可化为顶点式 ，其与轴交点距离为 ，通过垂直平移改变函数，使平移后与轴交点距离为，设垂直平移个单位，新函数为，令 得交点距离 ，解得，即向下平移 个单位． 【规范解答】解： 原函数 ， 可化为， 当时， 可得：， 解得：，， 抛物线与轴两交点距离为， 设垂直平移个单位，新函数为， 令 ，则 ， 解得：， 交点距离为 ， 令 ， 解得：，即， ∴ ， 故向下平移 个单位，与轴交点距离为 ． 故选： C ． 【变式训练】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象性质，化为顶点式，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把一般式化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）当时，，解得，，即可作答． （3）运用二次函数的图象性质，即可得出当时，x的取值范围． 【规范解答】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：依题意，当时，， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标分别为； （3）解：∵中的 ∴开口向上， 由（2）得抛物线与x轴的交点坐标分别为； 当时，x的取值范围为． 考点16：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式及点坐标； (2)是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】（）利用待定系数法求出函数解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （）把代入函数解析式求出的所有值，进而根据二次函数的图象和性质得出符合题意的值即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴二次函数的顶点坐标为，函数的最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令即可求解． 【规范解答】（1）解：设顶点式： ， 代入 ， 得：， 解得：， 故该二次函数的解析式为： ； （2）解：当时，， ∴图象与轴的交点坐标为． 考点17：已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】（25-26九年级上·天津红桥·期中）已知二次函数，当时，的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题主要考查了平方差公式，二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式化简函数表达式，再代入x的值计算． 【规范解答】解：由二次函数，根据平方差公式，得， 当时，， 故答案为：6． 【变式训练】（25-26九年级上·河南开封·阶段练习）已知二次函数． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)的值为； (2)的值为或； (3)的取值范围为． 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）把代入解析式即可求解； （）把代入解析式，然后解方程即可； （）根据二次函数的性质的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴的值为； （2）解：当时，， 解得：，， ∴的值为或； （3）解：∵， ∴当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为． 考点18：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交点C的纵坐标y满足，根据图象判断以下结论： ①；②；③关于x的一元二次方程（）两个根为和1；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象判断式子的符号，二次函数的图象与各系数符号等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．由抛物线过两点，得抛物线的解析式为，根据抛物线的开口方向可确定a的符号，从而确定b的符号，对称轴方程，从而可判断①②③；由，得到，根据抛物线与y轴交点C的纵坐标y满足，得到不等式组求解判断④；对变形，因式分解得到，再把代入即可求解判断⑤． 【规范解答】解：抛物线过两点，故设， 整理得：， ∴； 由图象知，抛物线的开口向上，则， ∴，且， ∴， 故①③正确； ∵抛物线过两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确； ∵， ∴， ∵抛物线与y轴交点C的纵坐标y满足， ∴， ∴，故④正确； ∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； 故⑤正确； ∴①②③④⑤都正确， 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·广东东莞·期中）（1）解方程：． （2）已知抛物线与轴只有一个交点，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，抛物线与一元二次方程的关系，是解题的关键： （1）分解因式后得到，推出方程，，求出方程的解即可． （2）根据题意，得到方程一元二次方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：， 分解因式得：， ，， 解方程得：，， 方程的解是，． （2）解：抛物线与轴只有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， 解得，． 考点19：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·辽宁营口·期中）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： (1)求抛物线的解析式及的值； (2)方程的根是________； (3)当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】(1)抛物线的解析式为，； (2)，； (3)． 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （）由表格可知该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当与时，的值相等，即，设抛物线的解析式为，然后把时，，代入即可求解； （）根据表格及二次函数的对称性可进行求解； （）根据二次函数的增减性可进行求解． 【规范解答】（1）解：由表格可得对称轴为直线， ∴顶点坐标为，当与时，的值相等，即， 设抛物线的解析式为， 当时，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（）得对称轴为直线， 根据二次函数的对称性可知，当与时，的值相等，且为， ∴方程的根是，， 故答案为：，； （3）解：由（）得抛物线的解析式为， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了函数图象与方程的关系，理解方程的解为对应函数图象交点的横坐标是解题的关键． 根据方程的解就是两个函数交点的横坐标求解即可． 【规范解答】解：∵关于x的方程的解为一次函数与二次函数的图象交点的横坐标， ∴方程的解为：． 故答案为：． 考点20：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）抛物线过点，对称轴是直线，且在x轴上截取的线段长度为，则抛物线的表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 由对称轴为 ，设抛物线顶点式为 。代入点 得方程 ．由在 轴上截取线段长度为 ，可得关系式 ，联立方程求解 和 ，得抛物线表达式． 【规范解答】解：设抛物线方程为 ， 代入点 ：，即， 在 轴上截取线段长度为 ，即方程 的两根之差为 ， 设两根为 ，则 ， 化简方程得，， 解得 ， ∴ ， 因此 ，即 ， 故 ， 将（2）代入（1）：， 解得：， 则 ， 抛物线表达式为 ， 验证：过点 ，且方程 的判别式 ，根为 ，距离为 ，符合条件， 故答案为： ． 【变式训练】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线 （填题序号即可）． 【答案】③ 【思路点拨】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 【规范解答】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 考点21：图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，再根据对称轴计算较大根的范围． 【规范解答】解：二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， 方程的一个较小根满足。 根关于对称轴对称，设较大根为，则 ， 。 当时，； 当时，； ， 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 考点22：图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【规范解答】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知二次函数． (1)求证：该二次函数图象与轴有两个交点； (2)当时，结合函数图象说明当时的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【思路点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质，以及不等式的求解，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质并会转化二次函数与一元二次方程的关系． （1）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式判断即可； （2）先表示出二次函数解析式，再画出二次函数的图象，根据图象解不等式即可． 【规范解答】（1）证明：对于二次函数， 其中，，， ∴ ∵， ∴一元二次方程有两个不同的实数根， 即二次函数的图象与轴有两个交点； （2）解：当时，二次函数为， 即， 令，则， 解得，， ∴函数与轴的交点为和， 二次函数中， ∴抛物线开口向上， 结合函数图象为： 当时，的取值范围是或． 考点23：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线的图象经过点和点． (1)求该抛物线的解析式． (2)当时，求该抛物线中y的取值范围． (3)将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． (4)当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)且 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律，理解二次函数的性质，二次函数解析式在平移中的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，当时，，当时，，即可求解； （3）由二次函数平移规律即可求解； （4）根据函数图象结合二次函数的性质即可解答． 【规范解答】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：， 当时，y的最大值为4． 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：根据题意得； （4）解：如图，设平移前和平移后的二次函数图象交点为， 联立，则， 解得， 当时，， ∵二次函数的最大值为，二次函数的最大值为， 由图象可得且时，直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的取值范围是 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质. （1）将代入即可求出的值； （2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值. （3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围. 【规范解答】（1）解：的图象经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）得 的图象经过， ， ， ∴的最小值为； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为. ∵时，， ∴， 当时， ， 解得， ∴， ∴的取值范围是． 考点24：根据交点确定不等式的解 【典例精讲】（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数． (1)该函数的顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． (2)根据图象回答：时，的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)；， (2) (3)或 【思路点拨】本题考查的是把抛物线化为顶点式，顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）先把抛物线化为顶点式可得坐标，再令函数值，可得，可得抛物线与x轴的交点坐标； （2）根据函数的图象得到当时，y的最大值与最小值即可得到答案； （3）根据函数的图象得到当时,的取值范围为轴上方自变量的取值范围，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴顶点坐标为：， 令，则， ∴， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：，． 故答案为：；，． （2）根据图象可得当时，最小值为， 当时，， ∴． （3）∵抛物线与x轴的交点坐标为：，． ∴根据图象可知，当时，的取值范围是或 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点的横坐标在0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线的图象开口向下，图象与y轴交于正半轴，顶点的坐标为，及与x轴交点的横坐标在0和1之间，再结合二次函数的性质，进而逐个判断即可得解． 【规范解答】解：①∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在正半轴上， ∴， ∴， 故①正确； ②∵当时，， ∴， 由①知， ∴， 故②错误； ③∵，，， 又∵抛物线开口方向向下， ∴若抛物线经过点，点，则， 故③正确； ④∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴二次函数的图象与直线无交点， ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口方向向下， ∴， 故④正确； 由题意，过，， ∴可以作图如下： ∴关于x的不等式的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集是， 故⑤错误． 综上所述，正确的有①③④，一共3个． 故选：C． 1．（2024·辽宁抚顺·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用．分别求出一次函数和二次函数的图象与轴的交点，得到一次函数和二次函数的图象都经过，且二次函数的图象经过原点，据此即可得到答案． 【规范解答】解：当时，，解得，即一次函数与轴的交点为， 当时，，解得，，即二次函数的图象与轴的交点为，， 即一次函数和二次函数的图象都经过，且二次函数的图象经过原点， 故只有A选项符合题意， 故选：A． 2．（2024·云南昆明·中考真题）如图，二次函数经过点，，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空：不等式的解集为_________________． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式、图象法求不等式的解集 （1）由待定系数法解二次函数的解析式； （2）根据图象性质，的解集为轴下方自变量的取值范围． 【规范解答】（1）解：把点，，分别代入得， ，解得， 抛物线解析式为：； （2）解：根据函数图象可得：不等式的解集为， 故答案为：． 3．（2024·全国·中考真题）如图，抛物线：与抛物线：交于点，以下结论：①无论x取何值，总是正数；②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④若直线与抛物线，有3个公共点时，则，说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【规范解答】解：∵，且， ∴的最小值为， ∴无论取何值，总是正数，故①正确； 把点代入得： ，解得：， ∴， ∴的顶点坐标为， ∵：， ∴顶点坐标为， ∴抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到的，故②正确； ， ∴当时，的值随着的增大而增大，故③错误； 根据题意得：当直线与抛物线有3个交点时，直线过的顶点或点A， 此时或，故④错误． 故选：B 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）当时，二次函数为与轴有且只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数与x轴有且只有一个公共点的条件，需考虑方程在区间内有唯一实根；分两种情况：判别式为零且根在区间内，或一个根在区间内另一个根不在区间内，通过判别式和区间端点函数值分析c的取值范围． 【规范解答】解：设二次函数，其与x轴有公共点等价于方程有实根， ∴判别式， 由当时，二次函数为与轴有且只有一个公共点，可知： 情况一：判别式为零，即，则，解得； 此时方程有重根，根为，满足条件； 情况二：判别式大于零，即，则，方程有两个不等实根， 设根为和，且，由求根公式可得， 需一个根在区间内，另一个根不在区间内， 分析可得，当且时成立 ∴，即，解得， ，即，解得， 同时恒成立， 因此，当时，满足条件； 综上，的取值范围为或； 故答案为或． 5．（2024·浙江宁波·中考真题）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，，代入即可求解． 【规范解答】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、， 、为方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 基础夯实 1．（2025九年级·全国·专题练习）二次函数的图象与轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】A 【思路点拨】本题考查二次函数与轴交点问题，转化为一元二次方程根的判别式求解是解题的关键． 通过计算二次方程的判别式，判断图象与轴的交点个数． 【规范解答】解：令，得方程． ∵ ， ∴ 方程无实数根，故图象与轴无交点． 故选：A． 2．（25-26九年级上·北京·期中）二次函数的图象向右平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数图象的平移，掌握“左加右减”针对x、“上加下减”针对y是解题关键． 根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，向右平移1个单位，x应替换为． 【规范解答】解：二次函数的图象向右平移1个单位，得到新二次函数解析式为． 故选B． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴交于正半轴 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，当时，随的增大而增大，从而判断出答案． 【规范解答】解： ，， 其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，故A、B正确； 当时，随的增大而增大，故D错误； 当时，，与轴交于正半轴，故C正确； 故选：D． 4．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程的一个解x的取值范围是 ． x 0 1 y 3 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数与一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 通过观察表格中函数值的变化，确定方程根所在区间． 【规范解答】解：方程的解即为函数的零点． 由表格数据可知，当时，； 当时，． 由于函数连续，故在与之间必然存在一点使， 因此方程的一个解的取值范围是． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象开口向下，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式 ． 【答案】(答案不唯一) 【思路点拨】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 二次函数图象开口向下，则二次项系数为负；经过点，则常数项为1． 【规范解答】解：设二次函数表达式为． ∵图象经过点， ∴当时， ，即，解得． ∵图象开口向下， ∴． 取，则． 故答案为∶ (答案不唯一)． 6．（25-26九年级上·江西新余·期中）已知点为二次函数的图象上的两点，则的大小关系为 . 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过计算点A和点B的纵坐标值，并比较大小即可． 【规范解答】解：对于点A，当时，； 对于点B，当时，； 则， 所以； 故答案为． 7．（25-26九年级上·江西新余·期中）二次函数的对称轴为直线 . 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数对称轴公式进行求解即可． 【规范解答】解：对于二次函数 ，其中，，代入对称轴公式得： ， ∴对称轴为直线； 故答案为． 8．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是__________； (3)当时，的取值范围是__________； 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意设，则把点代入进行求解即可； （2）由（1）可得点B坐标，然后根据函数图象可进行求解； （3）根据函数图象可直接进行求解． 【规范解答】（1）解：由题意设，则把点代入得： ，解得：， ∴； （2）解：令时，则有， ∴， ∴由图象可知：当时，的取值范围是； 故答案为； （3）解：由图象可知：当时，的取值范围是； 故答案为． 9．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知抛物线 ． (1)求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标． (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 (2)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 【思路点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将一般式化为顶点式，进行作答即可； （2）根据二次函数的增减性解答即可． 【规范解答】（1）解：， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； （2）解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)写出抛物线的顶点坐标：______； (3)当时，直接写出y的取值范围：______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了画二次函数的图象，将二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）求出当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；再描点、连线即可得解； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得解； （3）求出当时，，再结合函数图象即可得解． 【规范解答】（1）解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； 画出函数图象如图所示： （2）解：， 故抛物线的顶点坐标为； （3）解：当时，， 由图象可得，当时， y的取值范围为． 培优拔高 11．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）已知二次函数 的图象如图所示，其对称轴是直线 给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线的对称轴方程可判断、同号，判断①错误；由对称轴方程可判断②错误；代入结合图象可判断③正确；代入结合函数的图象判断④正确． 【规范解答】解：①，、同号，故，原结论错误； ②由对称轴可知， ，原结论错误； ③当时，由图象可知，即，原结论正确； ④当时，由图象可知，即，整理得，原结论正确． 所以，正确的结论是③④． 故选：C． 12．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点．根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项符合题意； 故选：D． 13．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）将二次函数的图象向上平移m个单位长度，使其经过点，则m的值为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查二次函数的图像的平移，掌握知识点是解题的关键． 由题意，原二次函数为，向上平移m个单位后得到新函数，由于新函数经过点，代入计算即可求出m的值． 【规范解答】解：∵将二次函数的图象向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数为， 将点代入，得 ， 即， ， ∴， 因此m的值为6． 故选B． 14．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有 ． 【答案】②④ 【思路点拨】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【规范解答】解：①由图象可知：， ， ， ，故此选项错误； ②由对称知，当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ③当时，；当时，， ，即， ，故此选项错误； ④当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， 故，即，故此选项正确．故②④正确． 故答案为：②④． 15．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查二次函数图象的平移规律和待定系数法求参数．根据平移规则“左加右减”得到平移后的函数表达式，再代入原点坐标求解． 【规范解答】解：将函数 的图像向左平移2个单位后，得到新函数 ，由于平移后的图象经过原点， 把点代入得 ， 即， 解得 ， 故答案为：4 16．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ． 【答案】①②/②① 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、特殊点的函数值与系数、、的关系是解题的关键． 先根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等特征，分别分析每个结论涉及的系数、、的符号及数量关系，再逐一判断结论的正确性． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴为直线，即， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∵，，， ∴，故①正确． ∵对称轴为直线，即， ∴，即，故②正确． 当时，，由图象知时，，即； 把代入得，故③错误． 当时，，由图象知时，，即， ∴不成立，故④错误． 故答案为：①②． 17．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）作抛物线关于轴对称后经过点，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数的图象和性质，坐标与轴对称，根据作抛物线关于轴对称后经过点，则原图象经过点关于轴对称的点，即经过点，代入函数解析式，得到，进而得到，整体代入法求值即可． 【规范解答】解：∵作抛物线关于轴对称后经过点， ∴原图象经过点关于轴对称的点，即经过点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)直接写出该抛物线的对称轴； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)直线 (3) 【思路点拨】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）先确定抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）由（1）即可解答； （3）先求出y的最小值，再直接观察图象，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：， 当时，， ∴该二次函数的顶点为，对称轴为， 当时，， ∴该二次函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， ∴该二次函数与x轴的交点为， 画出函数图象，如下图： （2）由（1）得：该抛物线的对称轴为； （3）由，得 抛物线开口向上，当时，y取得最小值为， 观察函数图象得：当时，y的取值范围为． 19．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知抛物线，其中，且． (1)求抛物线的对称轴和抛物线与x轴的交点坐标． (2)证明：抛物线的顶点A在第三象限． 【答案】(1)对称轴为直线，抛物线与轴交点坐标为和 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，一元二次方程根与系数的关系，顶点公式等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用对称轴公式求对称轴即可，根据二次函数和一元二次方程的关系以及根与系数的关系求交点坐标即可； （2）利用顶点纵坐标公式进行证明即可． 【规范解答】（1）解：， ， 对称轴为直线， ， 的一个根为1． 的两根之和为：， 的另一个根为． 抛物线与轴交点坐标为和； （2）证明：， 对称轴为直线， 将代入，得， ， ， ， 顶点在第三象限． 20．（25-26九年级上·山东泰安·期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求二次函数的表达式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ； (4)当时，函数值，直接写出n的取值范围 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）先求得顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）求得当时，y的最大值与最小值，再计算即可解答； （3）根据函数的增减性，再结合函数图象即可解答； （4）先求得当时，的值，再结合函数图象即可解答． 【规范解答】（1）解：由图象知，抛物线经过点和， ∴对称轴直线为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为，将代入得，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由题意得当时，y有最大值为4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的最大值与最小值的差为； （3）解：由题意得，当时，y随x的增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大，∴m的取值范围是； 故答案为：； （4）解：当时，，解得或， 由图可知： 当时，函数值，n的取值范围． 故答案为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $