专题2-2 函数性质2：“广义”奇偶性-【巅峰课堂】2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题2-2 函数性质2：“广义”奇偶性 目录 一、热点题型归纳 1 【题型一】奇偶函数性质 1 【题型二】“广义奇函数”：点（a，b）中心对称 4 【题型三】“广义偶函数”：竖直对称轴 6 【题型四】奇偶性与周期性 9 【题型五】奇偶性与零点 11 【题型六】奇偶性与比大小 14 【题型七】奇偶性与导数 16 【题型八】奇偶性与求参 18 【题型九】抽象函数与奇偶性 21 【题型十】中心对称应用：倒序求和 23 二、真题再现 25 三、模拟检测 31 【题型一】奇偶函数性质 【典例分析】 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为 A．或 B．1或 C．或2 D．或1 【答案】A 根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出和都关于对称，由有唯一零点，可知，即可求. 【详解】解：已知，①且，分别是上的偶函数和奇函数， 则，得：，②。①+②得：， 由于关于对称，则关于对称，为偶函数，关于轴对称， 则关于对称，由于有唯一零点， 则必有，，即：， 解得：或.故选：A. 【提分秘籍】 基本规律 奇偶性 (1)奇偶函数的性质 ①偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反； ②奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同； ③奇函数在x＝0处有意义时，必有结论 f(0)＝0 ； (2)奇偶性的判定 ①“奇±奇”是奇 ，“偶±偶”是 偶 ，“奇×/÷奇”是 偶 ，“偶×/÷偶”是 偶 ，“奇×/÷偶”是 奇 ； ②奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变； ③奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数． (2)常见奇函数 ①f(x)＝ ②f(x)＝loga ③f(x)＝g(x)－g(－x) ④f(x)＝loga(＋x) f(x)＝sin x，f(x)＝tan x等等； 【变式演练】 1.若函数对任意的，总有恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以函数为定义域 上奇函数，又因为所以函数为定义域 上减函数，因此不等式， 从而 ，选A. 2.设函数，若，满足不等式，则当时， 的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为,所以函数为奇函数,又因为为单调减函数,且所以为上减函数,因此 ,因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点时取最大值,选B. 3.已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图像不可能是（       ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】设，由奇偶性的定义及性质可得是R上的奇函数，且是R上的增函数，然后分、和三种情况讨论即可求解. 【详解】解：设，因为， 所以是R上的奇函数，又时，在上单调递增，所以在R上单调递增，且有唯一零点0， 所以的图像一定经过原点，当时，与的图像相同，不符合题意． 当时，是R上的奇函数，且在上单调递增，所以与的图像可能为选项C； 当时，若，所以与的图像可能为选项A或B. 故选：D． 【题型二】“广义奇函数”：点（a，b）中心对称 【典例分析】 定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若满足不等式，当时，的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合题中条件得出函数为减函数且为奇函数，由，可得出，化简后得出，结合可求出，再由结合不等式的性质得出的取值范围. 【详解】由知此函数为减函数. 由函数是关于的“中心捺函数”，知曲线关于点对称，故曲线关于原点对称，故函数为奇函数，且函数在上递减， 于是得，. ，. 则当时，令m=x，y=n则： 问题等价于点（x，y）满足区域，如图阴影部分， 由线性规划知识可知为（x，y）与（0，0）连线的斜率， 由图可得，，故选C. 【提分秘籍】 基本规律 对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心. 【变式演练】 1.已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出函数的图象关于点成中心对称以及函数 的周期为，由函数为奇函数得出，并由周期性得出 ，然后作出函数与函数的图象，列举前个交点的横坐标，结合第个交点的横坐标得出实数的取值范围． 【详解】由可知函数的图象关于点成中心对称， 且，所以，， 所以，函数的周期为， 由于函数为奇函数，则，则， 作出函数与函数的图象如下图所示： ，则， 于是得出，， 由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为、、、、、、、、、，第个交点的横坐标为， 因此，实数的取值范围是，故选A． 2.已