专题14 导数的概念与运算-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题14 导数的概念与运算 【考点预测】 知识点一：导数的概念和几何性质 1.概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或． 知识点诠释： ① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ② 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2.几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3.物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点二：导数的运算 1.求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3.复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ： 【方法技巧与总结】 1.在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2.过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 【题型归纳目录】 题型一：导数的定义 题型二：求函数的导数 题型三：导数的几何意义 1.在点P处切线 2.过点P的切线 3.公切线 4.已知切线求参数问题 5.切线的条数问题 6.切线平行、垂直、重合问题 7.最值问题 【典例例题】 题型一：导数的定义 例1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解. 【详解】 如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率， 表示切线斜率， 又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率， 结合图象，可得，即. 故选：C. 例2．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））设函数满足，则（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的导数的定义求解. 【详解】 解：因为， ， ， 所以， 故选：A 例3．（2022·新疆昌吉·二模（理））若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为，已知二元函数，则下列选项中错误的是（       ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件求出、，然后可逐一判断ABC，，然后利用导数求出右边的最小值即可. 【详解】 因为（，）， 所以，则， 又，所以， 因为， 所以当时，取得最小值，且最小值为， ， 令（），， 当时，，当时，， 故， 从而当时，取得最小值，且最小值为. 故选：B. 例4．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，，则当时，该质点的瞬时速度为（       ） A．米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出导数，再代入计算即可. 【详解】 ，当时，，故当时，该质点的瞬时速度为3米/秒. 故选：B. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（       ） A． B． C．10 D．20 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数的定义可得，再用求导公式可得，代入即可得解. 【详解】 因为，所以， 所以. 故选：D 例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数（是的导函数），则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案； 【详解】 ，， ，， 故选：D. 例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（       ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出. 【详解】 解：因为， 所以， 把代入， 得，解得：， 所以，所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出. 题型二：求函数的导数 例8．（2022·天津·耀华中学高二期中）求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)