解三角形解答题 练习-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修5

解三角形

1、所谓解三角形，即是在一个三角形中由已知的边角把所有未知的边角都求出来

2、解三角形的工具：正弦定理，余弦定理

正弦定理：（其中R为外接圆的半径）

 

          

 

余弦定理：（该公式侧重于求边，或建立方程用）

 

             （该公式侧重于已知三边求角）

3、已知下列情形可以解三角形：

①边角边：先余弦定理求第三边，再利用正弦定理或余弦定理求另外两角。

②边边边：余弦定理求三角。

③角角边：用正弦定理可求一边，用可求另外一角

④角边角：先利用求出第三角，再用正弦定理求其余的边。

⑤边边角：正弦定理，余弦定理都可以用。

 

总结：边角边，边边边一定先用余弦定理；角角边，角边角一定先用正弦定理

边边角：正弦定理，余弦定理都可以用。

 

4、解题思路：先画出正确图形，再在图形中标出已知的边角，看条件集中在哪个三角形中，则先在哪个三角形中解。

5、常用技巧：

若题目已知两角，可求出第三角的正弦值，进而求出三条边的比，然后设出三边的长

若没有一个三角形具备条件解出来时，可以设出一条边或一个角，然后建立方程。

若题目出现直角三角形时，可在该直角三角形中设出一个角，然后表示其余的边。

若一个三角形中出现一边及该边的对角，可用余弦定理结合均值不等式求该三角形面积和周长的最值

若三角形中已知一角，则可表示另外两角的关系，然后消去一角。

 

 

 

 

 

 

 

1、（2020春•浦东新区校级月考）在边长为的正三角形ABC的边AB、AC上分别取M、N两点，沿线段MN折叠三角形，使顶点A正好落在边BC上，则AM的长度的最小值为（　　）

A． B． C．2﹣ D．

 

解：显然A，P两点关于折线MN对称，

连接MP，图（2）中，可得AM＝PM，则有∠BAP＝∠APM，

设∠BAP＝θ，∠BMP＝∠BAP+∠APM＝2θ，

再设AM＝MP＝x，则有MB＝﹣x，

在△ABC中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，

∴∠BPM＝120°﹣2θ，

又∠MBP＝60°，

在△BMP中，由正弦定理知 ＝，

即 ＝，

∴x＝，

∵0°≤θ≤60°，

∴0°≤120°﹣2θ≤120°，

∴当120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°时，sin（120°﹣2θ）＝1．

此时x取得最小值＝＝2，且∠AME＝75°．

则AM的最小值为2．

故选：C．

 

 

 

 

2、如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝．

（1）求cos∠CAD的值；

（2）若cos∠BAD＝﹣，sin∠CBA＝，求BC的长．

 

解：AD＝1，CD＝2，AC＝

（1）在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝．

∴；

（2）设∠BAC＝α，则α＝∠BAD﹣∠CAD，

，

在△ABC中，由正弦定理，，

解得：BC＝3．

即BC的长为3．