第42期 正弦函数的性质与图像、余弦函数的图像与性质及正切函数-【数理报】2021-2022学年高中数学必修4（北师大版）

书 所以∠Ａ＝∠Ｂ＝３０°＝ π６，方案二中ＯＤ＝１， 方案一中扇形的周长ｌ１ ＝２＋２＋２× π ６ ＝４＋ π ３， 方案二中扇形的周长ｌ２ ＝１＋１＋１× ２π ３ ＝２＋ ２π ３， 方案一中扇形的面积Ｓ１ ＝ １ ２ ×２×２× π ６ ＝ π ３， 方案二中扇形的面积Ｓ２ ＝ １ ２ ×１ ２×２π３ ＝ π ３， 所以Ｓ１ ＝Ｓ２，ｌ１ ＞ｌ２．故选（Ａ）． ５．由题意得 (ｆ π )４ (＝ｇ π )４ ，所以槡２２ ＝ (ｃｏｓ π２＋ )φ ， 所以ｓｉｎφ＝－槡２２，因为 － π ２≤φ≤ π ２， 所以φ＝－π４，故选（Ｂ）． ６．因为 －π３≤ｘ≤ π ４，所以 － ωπ ３≤ ωｘ≤ ωπ ４，最小值是 －２，所以 －ωπ３≤－ π ２，所以ω≥ ３ ２，ω最小值是 ３ ２． ８．不妨设Ａ＞０，则由题意，得 Ａ＋ｍ＝４， －Ａ＋ｍ＝０{ ， 解得Ａ＝ｍ＝２，且Ｔ＝２π ω ＝ π２，即ω＝４， 则ｙ＝２ｓｉｎ（４ｘ＋φ）＋２． 因为直线ｘ＝ π３是其图像的一条对称轴， 所以４×π３ ＋φ＝ π ２ ＋ｋπ，ｋ∈Ｚ， 解得φ＝－５π６ ＋ｋπ，ｋ∈Ｚ， 当ｋ＝１时，φ＝ π６， 即符合条件的一个解析式是ｙ＝ (２ｓｉｎ ４ｘ＋π )６ ＋２． ９．函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ向左平移 π６个单位后，得到函数ｇ（ｘ） ＝ (ｓｉｎ２ ｘ＋π )６ ，即ｇ（ｘ）＝ (ｓｉｎ ２ｘ＋π )３ ， [ｓｉｎ ２ (× －π )３ ＋π ]３ ＝ (ｓｉｎ －π )３ ≠０，（Ａ）错； [ｓｉｎ ２ (× －π )６ ＋π ]３ ＝０≠±１，（Ｂ）错； 由２ｋπ－π２≤２ｘ＋ π ３≤２ｋπ＋ π ２（ｋ∈Ｚ），得 [单调增区间为 ｋπ－５π１２，ｋπ＋π ]１２ ，ｋ∈Ｚ， (同理可得单调减区间为 ｋπ＋π１２，ｋπ＋７π)１２ ，ｋ∈ Ｚ．故 （Ｃ）正确，（Ｄ）错． １０．对照函数的图像，只有①ｙ＝ｘｓｉｎｘ是偶函数，所以正确 答案是（Ａ）或（Ｄ）；又非奇非偶函数只有④ｙ＝ｘ·２ｘ，故选（Ｄ）． １１．若ｆ（ｘ）≤ (ｆ π )６ 对ｘ∈Ｒ恒成立， 则 (ｆ π )６ 等于函数的最大值或最小值， 即２×π６ ＋φ＝ｋπ＋ π ２，ｋ∈Ｚ， 则φ＝ｋπ＋π６，ｋ∈Ｚ． 又 (ｆ π )２ ＞ｆ（π），可得ｓｉｎφ＜０． 令ｋ＝－１，此时φ＝－５π６，满足条件， 令２ｘ－５π６ [∈ ２ｋπ－π２，２ｋπ＋π ]２ ，ｋ∈Ｚ， 解得ｘ [∈ ｋπ＋π６，ｋπ＋２π]３ （ｋ∈Ｚ）． 二、填空题 １３．④；　１４．７π６；　１５． π ６；　１６．①②③④． 提示： １３．ｃｏｓ（π＋ｘ）＝－ｃｏｓｘ，故 ① 不同； (ｓｉｎ ｘ－ π )２ ＝ －ｃｏｓｘ， (ｓｉｎ π２ )－ｘ ＝ｃｏｓｘ，故②不同；ｓｉｎ（－ｘ）＝－ｓｉｎｘ，故 ③不同；ｓｉｎ（２π＋ｘ）＝ｓｉｎｘ，故④相同． １４．由题意得 (ｓｉｎ ２α＋π )３ ＝ (ｓｉｎ ２β＋π )３ ＝ １３，而２ｘ ＋π３ [∈ π３，７π]３ ， (因此 ２α＋π )３ (＋ ２β＋π )３ ＝３π２×２， 解得α＋β＝７π６． １５．周期Ｔ＝ (２ ５π６ －π )３ ＝π，则２πω ＝πω＝２， 函数ｆ（ｘ）＝ (ｓｉｎ ２ｘ＋φ＋π )６ ． (因为图像过点 π３， )０ ，则５π６ ＋φ＝π＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ，φ＝ ２ｋπ＋π６．又０＜φ≤ π ２，所以ｋ＝０，则φ＝ π ６． １６．因为函数ｆ（ｘ）＝ (２ｓｉｎ １２ｘ＋π )６ －１（ｘ∈Ｒ）中，ω＝ １ ２，则Ｔ＝ ２π １ ２ ＝４π； (ｓｉｎ １２ｘ＋π )６ ∈［－１，１］，则 (２ｓｉｎ １２ｘ ＋π )６ －１∈［－３，１］；故①正确； 令 １ ２ｘ＋ π ６ ＝ｋπ＋ π ２（ｋ∈Ｚ），即ｘ＝２ｋπ＋ ２π ３；当ｋ＝ ０时，ｘ＝２π３，所以图像关于直线ｘ＝ ２π ３对称；故②正确； 令 １ ２ｘ＋ π ６ ＝ｋπ（ｋ∈Ｚ），解得ｘ＝２ｋπ－ π ３；当ｋ＝０时， ｘ＝－π３，所以ｆ（ｘ） (的图像关于点 －π３，－ )１ 对称，故③正确； 令２ｋπ－π２≤ １ ２ｘ＋ π ６≤２ｋπ＋ π ２，解得４ｋπ－ ４π ３≤ｘ ≤４ｋπ＋２π３，当ｋ＝０时，ｘ [∈ －４π３，２π]３ ， (而 －π，２π)３ [  －４π３， ２π]３ ，故④正确； 将ｆ（ｘ）的图像向左平移 π３ 个单位，即得到函数 ｇ（ｘ）＝ [２ｓｉｎ (１２ ｘ＋π３ ＋π ) ]３ －１＝ (２ｓｉｎ １２ｘ＋π )３ －１，故⑤ 错误． 三、解答题 １７～２２题答案见报纸． 第４４期１版 向量的概念 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｃ．　４．零向量；　 ５．槡３． 向量加法、减法运算及其几何意义 １．Ｂ；