13.1 基本立体图形(课堂培优)-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第二册）

13.1基本立体图形 一、单选题 1. 棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，则图中三角形正四面体的截面的面积是  A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 本题考查正四面体与其外接球的关系、截面面积的求法，属于中档题． 由题意可得球的内接正四面体，画出图形是解题的关键，的面积即为所求截面的面积可求得，又，由三角形的面积公式即可求解． 【解答】 解：由题意可得球的内接正四面体如图所示， 的面积即为所求截面的面积． 由图可知， 又，所以的面积为， 故选C．    2. 下列三种叙述，其中正确的有 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台． 两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台． 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】 A 【解析】解：不正确，因为根据棱台的定义，要求棱锥底面和截面平行． 不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点． 不正确，因为不能保证等腰梯形的各个腰延长后交与一点． 综上，三个命题全部不正确， 故选：． 利用棱台的定义和结构特征知，棱台的两个底面互相平行，而且侧棱延长线交于一点． 本题考查棱台的定义和结构特征，通过举反例额说明某个命题不正确是一种简单有效的方法． 3. 圆锥的侧面展开图是直径为的半圆面，那么此圆锥的轴截面是    A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 顶角为的等腰三角形 D. 其他等腰三角形 【答案】 A 【解析】解：圆锥的母线长就是展开半圆的半径，半圆的弧长为就是圆锥的底面周长， 所以圆锥的底面直径为， 圆锥的轴截面是等边三角形． 故选A 圆锥的母线长就是展开半圆的半径，根据这个条件就可以知道圆锥的母线长是圆锥底面圆半径的两倍，推出结论． 本题考查圆锥的结构特征，考查侧面展开图等知识，考查计算能力，是基础题． 4. 两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是 A. B. C. 或 D. 或 【答案】 D 【解析】 【分析】 本题主要考查了两个平行平面间的距离计算问题，易错点在于只考虑一种情况，从而漏解．属于中档题． 根据球的半径和两个截面圆的面积求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的位置分别求出两个平行平面间的距离． 【解答】 解：球的半径为，设两个截面圆的半径别为，，球心到截面的距离分别为，； 由，得；由，得； 如图所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差； 即； 如图所示，当球的球心在两个平行平面的之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和． 即； 所以这两个平面间的距离为或． 故选：．   5. 把按斜二测画法得到如图所示，其中，，那么是一个 A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形 【答案】 A 【解析】解：根据斜二侧画法还原直线在直角坐标系的图形，如下图所示： 由图易得 故为等边三角形， 故选A 6. 如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为  A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 本题主要考查斜二测画法的应用，属于中档题． 设的边上的高为，因为，列出关于的方程，即可求解． 【解答】 解：设的边上的高为， 因为， 所以． 又， 所以． 故选：． 7. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是    A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 本题考查斜二测画法，属于基础题． 利用斜二测画出的直观图的面积与原图形的面积之间的关系即可求解． 【解答】 解：由已知可得直观图的面积为 ， 又由斜二测画法知直观图的面积为原图形的， 所以原图形的面积为． 故选A． 二、填空题 8. 一棱柱有个顶点，其所有的侧棱长的和为，则每条侧棱长为          ． 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查棱柱的特征，考查学生的计算能力，属基础题． 确定棱柱为五棱柱，利用所有的侧棱长的和为，即可求出该棱柱的侧棱长． 【解答】 解：棱柱有个顶点，由于此棱柱有个顶点， 那么此棱柱为五棱柱， 又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为， 可知每条侧棱长为． 故答案为． 9. 如图所示，在所有棱长均为的三棱柱上，有一只蚂蚁从点出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点，则爬行的最短路程          ． 【答案】 解：将三棱柱的侧面沿着剪开，得到一个长方形， 其中长方体的长等于的周长，宽等于三棱柱的高， 所以爬行的最短距离为对角线的长， 等于． 故答案为． 10. 若边长为的正方