13.1.3 直观图的斜二测画法同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练通过三级分层设计，以斜二测画法为核心，从基础概念辨析到综合应用再到规律探究，梯度递进巩固知识，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础达标练|斜二测画法基本概念、直观图形态判断、简单坐标与面积计算|基础选择/填空题，直接考查概念理解，如长方形直观图形态判断| |B级能力提升练|复杂图形直观图与原图转换、综合计算（含多边形面积、几何体尺寸比例）|多选题与综合计算题，强化空间观念与推理能力，如直观图与原图面积转换| |C级拓展探究练|多边形直观图与原图面积关系的一般规律探究|开放性探究题，培养创新意识，如推导多边形面积关系公式|

13.1.3　直观图的斜二测画法 A级 基础达标练 1.长方形的直观图可能为下图中的哪一个(　　) A.①② B.①②③ C.②⑤ D.③④⑤ 2.(多选题)对于用斜二测画法所得的直观图,下列说法错误的是(　　) A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形 3.如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,其中O'C'=O'A'=2O'B',则以下说法正确的是(　　) A.△ABC是钝角三角形 B.△ABC是等腰三角形,但不是直角三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是等边三角形 4.在斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M',则点M'的坐标为　　　　.  5.如图,若斜边长为2的等腰直角△A'B'C'(B'与O'重合)是水平放置的△ABC的直观图,则△ABC的面积为　　　　.　  第5题图 第6题图 6.(2025淮安期中)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,若A1C1=2,△ABC的面积为2,则B1C1的长为　　　　.  7.一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高(两底面圆心连线的长度)为4 cm,圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm,画出此几何体的直观图. B级 能力提升练 8.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　) A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm C.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm 9.如图,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'和x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 10.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,B'C'与y'轴交于点D',其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形OABC的面积是(　　) A.24 B.24 C.3 D.12 11.(多选题)如图所示,用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图,得△A1B1C1,其中A1B1=B1C1,A1D1是B1C1边上的中线,则下列结论中,正确的是(　　) A.AB=BC=AC B.AD⊥BC C.AB⊥BC D.AC>AD>AB>BC 12.水平放置的△ABC的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形A'B'C'.O'是斜边B'C'的中点,且O'A'=2,则△ABC的边BC上的高为　　　　.  13.(2025泰州月考)如图所示,△A'B'C'表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图,A'B'在x'轴上,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=3,则△ABC的边AB上的高为　　　　.  14.(2025盐城月考)已知三角形ABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形A'B'C'(如图所示),则点C的坐标为　　　　.  C级 拓展探究练 15.用斜二测画法得到的多边形A1A2…An的直观图为多边形A'1A'2…A'n,试探索多边形A1A2…An与多边形A'1A'2…A'n的面积之间有无确定的数量关系. 参考答案 1.C　由斜二测画法知,长方形的直观图应为平行四边形,且锐角为45°,故②⑤正确. 2.ACD　对于A,等腰三角形的直观图不再是等腰三角形,故A错误;对于B,因为正方形的对边平行,所以在直观图中仍然平行,故正方形的直观图为平行四边形成立,故B正确;对于C,梯形的上下底平行,在直观图中仍然平行;两腰不平行,在直观图中仍然不平行,所以梯形的直观图仍是梯形,故C错误;对于D,正三角形的直观图是一个钝角三角形,不是等腰三角形,故D错误.故选ACD. 3. C　如图所示,△A'B'C'的平面图形为△ABC. 设A'C'=2,则O'C'=O'A=1,OB=2O'B'=1,AC=A'C'=2, 故AB=BC=,所以AB2+BC2=AC2, 即AB⊥BC,故△ABC是等腰直角三角形.故选C. 4.(4,2)　由直观图画法“横不变,纵折半”可得点M'的坐标为(4,2). 5.4　在斜二测直观图中,由△A'B'C'为等腰直角三角形,A'B'=2,可得A'C'=2,B'C'=2.还原原图形如图,则AB=4,BC=2,则S△ABC=AB·BC=×4×2=4. 6.　由斜二测画法的规则可知,在△ABC中,BC⊥AC,AC=2, 则BC·AC=2,即BC·AC=4⇒BC=2, 故由斜二测画法规则可得B1C1=.故答案为. 7.解 (1)画轴.如图①所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°. (2)画圆柱的下底面.在x轴上取A,B两点,使AB=3 cm,且OA=OB,选择椭圆模板中适当的椭圆且过A,B两点,使它为圆柱的下底面. (3)在Oz上截取OO'=4 cm,过点O'作平行于Ox轴的O'x'轴,类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面. (4)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO'=3 cm. (5)成图.连接A'A,B'B,PA',PB',整理(去掉辅助线,将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图,如图②所示. 8.B　由比例尺可知,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合直观图,图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm. 9.D　设△AOB的边OB上的高为h,由直观图与原图形中边OB长度不变,且S原=2S直观,得OB·h=2×2O'B'.∵OB=O'B',∴h=4. 10.B　∵矩形O'A'B'C'是一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,∴直观图的面积是6×2=12.∵直观图的面积∶原图的面积=,∴原图形的面积是12÷=24.故选B. 11. CD　由直观图知△ABC为直角三角形,AB⊥BC,AB=2A1B1,BC=B1C1,D为BC的中点,如图所示,因为A1B1=B1C1,所以AB=2BC,故A,B错误,C,D正确. 12.4　由斜二测法,知该△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,且AB⊥BC.在等腰直角三角形A'B'C'中,O'是斜边B'C'的中点,且O'A'=2,所以B'C'=4,B'A'=2.根据直观图中平行于x轴的长度不变,平行于y轴的长度变为原来的一半,可得在△ABC中,BC=4,AB=4,所以△ABC的边BC上的高为4.故答案为4. 13.6　如图,作线段C'D∥y'轴,交x'轴于点D, 则C'D==3, 所以边AB上的高为2C'D=6.故答案为6. 图1 14.(1-,2)　在直观图中,在x'轴上取点D',使得D'C'∥y'轴,如图1所示, 则A'C'=2,∠C'D'A'=45°,∠D'A'C'=120°,∠D'C'A'=15°, 由正弦定理可得, 因为sin 15°=sin(60°-45°)=sin 60°cos 45°-cos 60°sin 45°=, 所以D'C'=,D'A'=-1, 图2 故将直观图还原为平面图如图2所示, 则DA=D'A'=-1,DC=2D'C'=2. 故C(1-,2). 故答案为(1-,2). 15.解 先确定三角形的直观图和原始图的面积关系,再将多边形转化为三角形得到答案. ①设在△ABC中,CD为高,边AB平行于x轴,用斜二测画法得到其直观图为△A'B'C',则有C'D'=CD, △A'B'C'的高为C'M=C'D'=CD, 所以S△A'B'C'=A'B'·C'M=S△ABC. ②当△ABC的三边都不与x轴平行时,可过其中一个顶点作与x轴平行的直线与对边相交,不妨设过点A作与x轴平行的直线交BC于点D,则AD将△ABC分成△ABD和△ACD, 由①可知S△A'B'C'=S△A'B'D'+S△A'C'D'=S△ABD+S△ACD=S△ABC. ③对多边形A1A2…An,可连接A1A3,A1A4,…,A1An-1,得到(n-2)个三角形, 即△A1A2A3,△A1A3A4,…,△A1An-1An, 由①②知+…++…+)=. 综上可知,多边形A1A2…An与其直观图多边形A1'A2'…An'的面积之间有确定的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 $