专题08 双曲线-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（沪教版2020选择性必修第一册）

专题08 双曲线 题型一 双曲线的标准方程 例题1（2021·上海市新场中学高二期中）当时，方程所表示的曲线是（       ） A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线 C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线 例题2（2021·上海浦东新·一模）若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（       ） A． B． C． D． 【解题技巧提炼】 1．双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 性质 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直． 1．双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. (5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S＝b2·，其中θ为∠F1PF2. 2．巧设双曲线方程 (1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 题型二 双曲线的几何性质 例题1．（2022·上海市崇明中学高二期中）已知双曲线的两个焦点分别为、，为双曲线上一点，且，则的面积为_________. 例题2．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线的两条渐近线的夹角为______． 例题3．（2022·上海宝山·二模）已知是双曲线上的点，过点作双曲线两渐近线的平行线，直线分别交轴于两点，则__． 题型一 双曲线的标准方程 1.（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为______． 2.（2022·上海市崇明中学高二期中）与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________. 题型二 双曲线的几何性质 1.（2021·上海普陀·一模）设点是双曲线的左､右两焦点，点是的右支上的任意一点，若，则的值可能是（       ） A．4 B． C．5 D． 2．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（       ） A．6 B．7 C． D．5 3．（2020·上海·闵行中学高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 一、填空题 1．（2022·上海市宝山中学高二期中）若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是_______. 2．（2022·上海交大附中高三期中）已知直线：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为______． 3．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围为____________． 4．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）双曲线的虚轴长为_________ 5．（2022·上海市复兴高级中学高三阶