6.3&6.4三角形的中位线及多边形的内角和与外角和(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

6.3&6.4三角形的中位线及多边形的内角和与外角和 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系。 （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的。 （3）三角形的中位线不同于三角形的中线。 题型1：三角形的中位线（一条） 1.如图，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE＝AC＝×10＝5， 故选：D． 【变式1-1】如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为　1.5　． 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：∵DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝5， 在Rt△AFB中，D是AB的中点， ∴DF＝AB＝3.5， ∴EF＝DE﹣DF＝1.5， 故答案为：1.5 【变式1-2】如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：在△BNA和△BNE中， ， ∴△BNA≌△BNE（ASA）， ∴BE＝BA，AN＝NE， 同理，CD＝CA，AM＝MD， ∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝， ∴DE＝2MN＝3， ∵BE+CD﹣BC＝DE， ∴AB+AC＝BC+DE＝10， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17， 故选：A． 【变式1-3】如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F． （1）求证：DE是△BCF的中位线． （2）试连接BD，AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）由平行四边形的性质即可证明DE是△BCF的中位线； （2）因为平行四边形的对边平行且相等，所以AB∥CD，AB＝CD；又因为点E是AD的中点，易得△ABE≌△DFE，所以AB＝DF，所以四边形ABDF为平行四边形． 【解答】解： （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DE∥BC， ∴点E是AD的中点， ∴DF＝CD， ∴DE是△BCF的中位线； （2）四边形ABDF为平行四边形， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠BFD， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵∠AEB＝∠DEF， ∴△ABE≌△DFE， ∴AB＝DF， ∵AB∥DF， ∴四边形ABDF为平行四边形 题型2：三角形的中位线（多条） 2.如图，△ABC中，三条中位线围成的△DEF的周长是15cm，则△ABC的周长是　30　cm． 【分析】根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵△DEF的周长是15， ∴DE+DF+EF＝15， ∵DE、DF、EF分别是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE，AC＝2DF，AB＝2EF， ∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝2（DE+DF+EF）＝30（cm）， 故答案为：30． 【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是 　9　． 【分析】根据三角形中位线定理得到PM∥BC，PM＝BC＝3，PN∥AD，PN＝AD＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可． 【解答】解：∵P、M分别是AB、AC的中点， ∴PM∥BC，PM＝BC＝3， ∴∠APM＝∠CBA＝70°， 同理可得：PN∥AD，PN＝AD＝3， ∴∠BPN＝∠DAB＝50°， ∴PM＝PN＝3，∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∴△PMN为等边三角形， ∴△PMN的周长为9， 故答案为：9． 【变式2-2】如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为（　　） A．a B．a C．a D．a 【分析】根据三角形中位线定理得到△A