2.3函数的奇偶性、周期性、对称性（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 【题型解读】 【题型一　判断函数奇偶性的两种方法】 1. （多选）（2022·海南高三二模）下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A，因为，是偶函数，在区间上为增函数，符合题意； B，因为，是奇函数，且在区间上为减函数，不符合题意； C，因为，是偶函数，当时，单调递减，不符合题意； D，因为，是偶函数，且在区间上为增函数，符合题意. 故选：AD 2.（2022·北京东城区·高三期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，设，定义域为，该函数为非奇非偶函数，故A不正确； 对于B选项，函数的定义域为，不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，且该函数在区间上为增函数，故B不正确； 对于C选项，设，定义域为，关于原点对称，该函数为奇函数，但函数在区间上为减函数，故C不正确； 对于D选项，设，定义域为，关于原点对称，且，该函数为奇函数， 又在区间上为增函数，则该函数在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 3. （2022·甘肃高三一模）已知函数，则（ ） A．是奇函数，且在单调递减 B．是奇函数，且在单调递增 C．是偶函数，且在单调递减 D．是偶函数，且在单调递增 【答案】D 【解析】因为，,定义域关于原点对称， 且， 所以是偶函数， 当时，， 所以在单调递增， 故选：D 4（2022·全国高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】C 【解析】将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知， 函数的图象关于原点对称， 故函数为奇函数，且在上单调递减， 故选：C 【题型二　函数奇偶性的四种应用】 1. （2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（       ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由为奇函数， 所以， 所以，可得， 解得， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域为符合题意， 故选：D 2. （2022·山东菏泽·高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】是偶函数 定义域关于原点对称 对于选项A：是偶函数，当时，，则不满足条件，A错误； 对于选项B：当时，无意义，则定义域不满足条件，B错误； 对于选项C：是偶函数，当时，，满足条件，C正确； 对于选项D：当时，无意义，则定义域不满足条件，D错误； 故选：C 3. （2022·上海高三月考）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时__________． 【答案】 【解析】设，则，由时，，所以， 又函数为偶函数，即，所以.故答案为： 4. （2022·湖南·一模）已知是奇函数，且，若，则___． 【答案】1 【解析】是奇函数， ∴h(1)＋h(－1)＝0 即f(1)＋1＋f(－1)＋1＝0， ∵f(1)＝－1， ∴f(－1)＝－1， ∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1. 故答案为：1. 5. （2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数为偶函数，则______． 【答案】1 【解析】由题设，， 所以. 故答案为：1 6. （2022·北京·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，且当时，. (1)求和的值； (2)求在上的解析式. 【解】(1)满足， ， . (2)由题意知，.当时，. 由是奇函数， ， 综上，在上， 7. （多选）（2022·全国高三专题练习）设函数是定义在区间上的奇函数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据题意，函数是定义在区间上的奇函数， 则， 即，则， 解可得或（舍）， 即，则，解可得， 故，即的取值范围为，故选：AC. 8. （2022·河南高三月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 所以在上单调递增. 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以函数的图象关于直线对称. 所以在上单调递减. 因为，，， 所以. 故选：D. 9. （2022·云南丽江·高三期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为，，所以为奇函数， 在上递增， 由得， ∴，， 解得. 故选：B 10. （2022·福建省福州第一中学高三期末）若对，有，函数在区间上