2.4幂函数和二次函数（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

2.4 幂函数和二次函数 【题型解读】 【题型一　幂函数的图像与性质】 1. （2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ） A． B．0或2 C．0 D．2 【答案】D 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上为减函数，不符合题意， 当时，在上为增函数，符合题意， 所以. 故选：D. 2. （2022·浙江高三月考）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ） A．或3 B．3 C． D．0 【答案】B 【解析】因为幂函数在上是减函数， 所以， 由，得或， 当时，，所以舍去， 当时，， 所以， 故选：B 3. （2022·北京高三模拟）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得. 函数是上的增函数. 因为，， 所以， 所以， 所以. 故选：A 4. （2022·贵州毕节·高三期末）若幂函数在上单调递增，则（       ） A．1 B．6 C．2 D． 【答案】D 【解析】∵幂函数在上单调递增， ∴，解得， 故选：D． 5. （2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减. （1）求的值并写出的解析式； （2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），；（2）存在，. 【解析】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以解得：或(舍去)， 所以； （2）由（1）可得，，所以， 假设存在，使得在上的值域为， ①当时，，此时在上单调递减，不符合题意； ②当时，，显然不成立； ③当时，，在和上单调递增， 故，解得. 综上所述，存在使得在上的值域为. 6. （2022·浙江高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（ ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【解析】∵函数是幂函数， ∴，解得：m= -2或m=3． ∵对任意，，且，满足， ∴函数为增函数， ∴， ∴m=3（m= -2舍去） ∴为增函数． 对任意，，且， 则，∴ ∴． 故选：A 7. （2022·上海市第三女子中学高三月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】(1) 解：因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得， 又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 综上所述，. (2) 解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数， 则由得， 即，即，解得， 8. （2022·肥东县综合高中高三月考）已知幂函数，在上单调递增.设，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据幂函数的定义可得，解得或， 当时，，此时满足在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减，不合题意. 所以. 因为，，， 且，所以， 因为在上单调递增，所以， 又因为为偶函数，所以， 所以. 故选：A 9. （2022·北京·高三专题练习）若，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为幂函数在和上都是单调递减的， 所以，由可得或或 解得或， 即实数m的取值范围为. 故选：C. 10. （2022·山西阳泉市·高三三模）已知点在幂函数图像上，设，，，则、、的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在幂函数图像上 所以，所以 即， ，， 即 为R上的单调递增函数 所以 所以选A 【题型二　二次函数的图像与性质】 1. （2022·全国高三专题练习）函数满足下列性质： （）定义域为，值域为． （）图象关于对称． （）对任意，，且，都有． 请写出函数的一个解析式__________（只要写出一个即可）． 【答案】 【解析】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式， 此时对称轴为，开口向上，满足（）， 因为对任意，，且，都有， 等价于在上单调减， ∴，满足（）， 又，满足（），故答案为． 2. （2022·江西·贵溪市实验中学高三月考）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数是开口向上，对称轴为， 所函数的单调递减区间为， 又函数在上是减函数， 所以，所以，所以. 故选;B. 3. （2022·山西运城·高三期末）已知二次函数的值域为，则的最小值为（       ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【解析】由题意知，， ∴且， ∴， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D. 4. （2022·全国高三专题练习）如果