2.2.2双曲线的参数方程 2.2.3抛物线的参数方程 课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版选修4-4

4.7.2 第二节 双曲线的参数方程 二、圆锥曲线的参数方程 A B' B O y x M A' 以原点O为圆心, a, b(a>0, b>0)为半径分别作同心圆C1,C2. 设A为圆C1上任一点, 作直线OA, 过A作圆C1的切线AA'与x交于点A', 过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'。 过点A', B'分别作y轴, x轴的平行线A'M, B'M交于点M, 设OA与OX所成角为φ(φ∈[0, 2π),φ≠π/2,φ≠3π/2) 求点M的轨迹方程, 并说出点M的轨迹。 研究双曲线 的参数方程 • b a o x y ) M B A 双曲线的参数方程 双曲线的参数方程 • b a o x y ) M B A 说明: ⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同. ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到,所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换. 双曲线焦点在x轴 双曲线焦点在y轴 练习一 写出下列双曲线的参数形式: 练习二 已知双曲线的参数形式,写出普通式: 1 2 3 练习三 求双曲线 的渐近线 方程 解:将双曲线方程变为 消去参数,得 所以渐近线方程为 练习四 不妨设M为双曲线右支上一点,其坐标为 则直线MA的方程为 解得点A的横坐标为 平行四边形MAOB的面积为 由此可见,平行四边形MAOB的面积恒为定值, 与点M在双曲线上的位置无关 例 O B M A x y 解: 4.7.3 第三节 抛物线的参数方程 M F O Y X A 前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程: 对于一般抛物线,怎样建立参数方程呢? 以抛物线的普通方程 为例,其中p为焦点到准线的距离。 设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点,以射线OM为终边的角记作α 显然,当α在 内变化时,点M在抛物线上运动,并且对于α的每一个值,在抛物线上都有唯一的点M与之对应,因此,可以取α为参数来探求抛物线的参数方程. 因为点M在α的终边上,根据三角函数定义可得 由方程 (α为参数) 这是抛物线(不包括顶点)的参数方程. 如果令 则有 (t为参数) (α为参数) 当t=0时,上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0), 因此,当 时, (t为参数) 就表示整条抛物线.参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. C 练习 例1 如图,O为原点,A,B为抛物线 上异于顶点的两动点,且OA⊥OB,OM⊥AB于M,求点M的轨迹方程. 当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小?最小值是多少? 练习3 已知椭圆C1: 及抛物线C2: y2=6x-9;若C1∩C2≠∅,求m的取值范围。 代入得 cos2φ+4cos φ+2m-4=0 所以 t2+4t+2m-4=0 在[-1, 1]内有解; 即 4-2m=t2+4t 在[-1, 1]内有解; 即 -3≤4-2m≤5; 即 已知A, B, C是抛物线 y2=2px(p>0)上的三个点,且BC与x轴垂直,直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D, E两点,求证:抛物线的顶点平分DE. 练习4 经过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB,以直线OA的斜率k为参数,求线段AB的中点M的参数方程。 解:直线OA的方程为y=kx,直线OB的方程为 由y2=2px和y=kx,得 A点坐标为 同理B点坐标(2pk2,-2pk) 练习5 5 已知椭圆 上任意一点M,(除短轴端点外)与短轴端点B1, B2的连线分别与x轴交于P, Q两点,O为椭圆的中心,求证:|OP|·|OQ|为定值。 $