2.2.2 双曲线与抛物线的参数方程-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

数学 （选修 4 - 4·人教 A 版）　 = 9 3cos2 α + 4sin2 α = 9 3 + sin2 α , 当 sinα = ± 1 时,| FA | × | FB | 的最小值为 9 4 . 第 2 课时　 双曲线与抛物线的参数方程 新知导学 　 　 1. asecφ　 btanφ　 bcotφ　 acscφ 2. cotφ = 1 tanφ 　 secφ = 1 cosφ 　 cscφ = 1 sinφ 3. 2pt2 　 2pt　 - 2pt2 　 2pt　 2pt　 2pt2 　 2pt　 - 2pt2 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:根据圆锥曲线参数方程的写法可直接写出. (1) x = 2secθ y = 2tanθ{ 　 (θ∈[0,2π)且 θ≠ π 2 ,θ≠3π 2 ); (2) x = 4t2 y = 4t{ . 　 　 跟踪练习 1:(1) x = 2secθ y = 3tanθ{ (θ 为参数,θ∈[0,2π)且θ≠ π 2 , θ≠3π 2 ). (2) x = 4t y = 4t2{ (t 为参数). 典例试做 2:双曲线的渐近线方程为 y = ± b a x. 不妨设 M 为双曲线右支上一点,其坐标为( asecφ,btanφ),则直线 MA 的 方程为 y - btanφ = - b a (x - asecφ)　 　 ① 将 y = b a x 代 入 ① 解 得 A 的 横 坐 标 为 xA = a 2 ( secφ + tanφ),同理可得点 B 的横坐标为 xB = a 2 (secφ - tanφ) 设∠AOx = α,则 tanα = b a . ∴ ▱MAOB 的面积为 S▱MAOB = | OA | · | OB | sin2α = xA cosα · xB cosα ·sin2α = a 2 (sec2 φ - tan2 φ) 4cos2 α ·sin2α = a 2 2 tanα = a 2 2 · b a = ab 2 . 跟踪练习 2:设 P(secφ,tanφ), ∵ F1 ( - 2,0),F2 ( 2,0), ∴ | PF1 | = (secφ + 2) 2 + tan2 φ = 2sec2 φ + 2 2secφ + 1 | PF2 | = (secφ - 2) 2 + tan2 φ = 2sec2 φ - 2 2secφ + 1 ∵ | OP | 2 = sec2 φ + tan2 φ = 2sec2 φ - 1, | PF1 | · | PF2 | = (2sec 2 φ + 1)2 - 8sec2 φ = (2sec2 φ - 1)2 = 2sec2 φ - 1. ∴ | PF1 | · | PF2 | = | OP | 2 . 典例试做 3:设 A(2pt21 ,2pt1 ),B(2pt 2 2 ,2pt2 ),则以 OA 为直径 的圆的方程为 x2 + y2 - 2pt21 x - 2pt1 y = 0,以 OB 为直径的圆方程 为 x2 + y2 - 2pt22 x - 2pt2 y = 0,即 t1 、t2 为方程 2pxt 2 + 2pty - x2 - y2 = 0 的两根. ∴ t1 t2 = - (x2 + y2 ) 2px . 又 OA⊥OB,kOA = 1 t1 ,kOB = 1 t2 ,∴ kOA·kOB = - 1. ∴ t1 t2 = - 1,x 2 + y2 - 2px = 0. ∴ 另一交点 Q 的轨迹是以(p,0)为圆心,p 为半径的圆. 跟踪练习 3:抛物线 y2 = 4x 的焦点为 F(1,0),F 为△OAB 的垂心,所以 x 轴⊥AB,A、B 关于 x 轴对称. 设 A(4t2 ,4t)(t > 0),则 B(4t2 , - 4t). 所以 kAF = 4t 4t2 - 1 ,kOB = - 4t 4t2 = - 1 t . 因为 AF⊥OB, 所以 kAF·kOB = 4t 4t2 - 1 ·( - 1 t ) = - 1, 所以 t2 = 5 4 . 由 t > 0,得 t = 5 2 . 所以 A(5,2 5). 所以|AB| =4 5,|OA| = |OB| =3 5. 故这个三角形的周长为 10 5. 课后强化作业　 练案[8] A 级　 基础巩固 1. B　 ∵ x2 - y2 = sec2 θ - tan2 θ = 1, ∴ 曲线为等轴双曲线. 易知所求的渐近线方程为 y = ± x. 2. B　 将参数方程化为普通方程,得 x 2 25 + y 2 9 = 1,故焦点坐标为 ( ± 4,0). 3. D　 把方程 x = 2cosθ y = 3sinθ{ (θ 为参数) 消去参数化