11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（教学课件，含动画演示）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

11.1 与三角形有关的线段 11.1.2 三角形的边 第十一章 三角形 人教版 八年级上册 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 学习目标 把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C. 观察移动过程中形成的无数条线段(AD、AE、AF、AG…)中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？ 1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 2.线段中点的定义： 把一条线段分成两条相等的线段的点. 3.角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 针对练习 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？ A B 如何求△ABC的面积？ D 从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.(也叫三角形的高线，简称三角形的高) ∵ AD是△ABC的高 ∴ ∠BDA=∠CDA=90° ∵ ∠BDA=90°(∠CDA=90°) ∴ AD是△ABC的高 用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的高吗？ 锐角三角形的三条高 画出一个锐角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？ 锐角三角形的三条高交于同一点. 画出一个直角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？ 直角三角形的三条高 直角边BC边上的高是____； 直角边AB边上的高是____； 斜边AC边上的高是____. AB BC BD D 直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形的三条高 画出一个钝角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？ 钝角三角形的三条高不相交于一点. 钝角三角形的三条高所在直线交于同一点. 三角形的三条高所在直线交于同一点. 三角形的三条高的特性 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 例1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知, AD×BC＝BP×AC. 代入数值，可解得BP＝. 【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 解： （1）由题意得：AB×CE=6×9=27cm2 ． （2）∵×AD， ∴ 27=12×AD 解得AD=4.5cm． 已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何关系？ 连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. ∵ AD是△ABC的中线 ∴ BD=CD=BC ∵ BD=CD (或BD=BC) ∴ AD是△ABC的中线 用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？ 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，认真观察! 你可得到什么结论？ 三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 例2.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值. 解：∵点D是AC 的中点，∴AD＝AC. ∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6. ∵EC＝2BE，S△ABC＝12， ∴S△ABE＝ S△ABC＝×12＝4. ∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， ∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 【点睛】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比． 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求A