11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（教学设计）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 教学设计 一、教学目标 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法. 二、教学重、难点： 重点：三角形的高、中线与角平分线. 难点：三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高. 三、教学过程： 情境引入 把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C. 观察移动过程中形成的无数条线段(AD、AE、AF、AG…)中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？ 【设计意图】通过课件中的动画演示让学生在动态的图形变化中发现特殊情况，引发学生去分析和思考，初步确定三条重要的线段---三角形的高、中线与角平分线，为下一步新知学习做好铺垫。 复习回顾 1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 2.线段中点的定义： 把一条线段分成两条相等的线段的点. 3.角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 知识精讲 高线 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？如何求△ABC的面积？ 从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.(也叫三角形的高线，简称三角形的高) 几何语言 反之 ∵ AD是△ABC的高 ∵ ∠BDA=90°(∠CDA=90°) ∴ ∠BDA=∠CDA=90° ∴ AD是△ABC的高 用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的高吗？你有何发现？ 锐角三角形的三条高 画出一个锐角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？ 直角三角形的三条高 画出一个直角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？ 直角边BC边上的高是____； 直角边AB边上的高是____； 斜边AC边上的高是____. 钝角三角形的三条高 画出一个钝角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？ 归纳：三角形的三条高所在直线交于同一点. 中线 思考：已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何关系？ 连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. 几何语言 反之 ∵ AD是△ABC的中线 ∵ BD=CD (或BD=BC) ∴ BD=CD=BC ∴ AD是△ABC的中线 用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？你有何发现？ 探究：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，认真观察! 你可得到什么结论？ 归纳：三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 角平分线 任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗？你能通过折纸的方法得到它吗？ ∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的的角平分线. 几何语言 反之 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠2=∠BAC ∴ AD是△ABC的角平分线 画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？ 探究：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，认真观察! 你可得到什么结论？ 三角形的三条角平分线交于同一点. 【设计意图】借助学生对问题的解决，唤醒学生对三角形的高线、中线与角平分线的认识与确认，有助于新知的解决,并且发展学生的观察力与语言表述能力.通过折或画出高线、中线与角平分线，提高学生的基本作图能力，发展其空间观念.小组合作交流，并通过观察、猜想经历知识的发展形成过程，体验了“发现知识的快乐，变被动接受为主动探究. 典例解析 例1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知, AD×BC＝BP×AC. 代入数值，可解得BP＝. 【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 【针对练习】 如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm． （1）求△AB