第11讲 指数与指数函数-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第11讲　 指数与指数函数 1．根式 (1)根式的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，且n>1)． ②＝ 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； ③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax (a>0且 a≠1) a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 在R上是增函数 在R上是减函数 · 考点1 指数幂的运算 [名师点睛] 1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： (1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [典例]　 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算； （2）若，求的值． 【解】 （1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15． （2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14． 2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)． （1）； （2）； （3）； （4）. 【解】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式. [举一反三]　 1．（2022·全国·高三专题练习）计算：. 【解】， ， ， . 2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：； （2）化简：. 【解】（1）原式； （2）原式. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知，求下列各式的值． （1）；（2）；（3）. 【解】（1）将两边平方得，所以． （2）将两边平方得，所以． （3）由（1）（2）可得 4．（2022·全国·高三专题练习）已知，求的值． 【解】设，则，所以， 于是，， 而， 将平方得，于是， 所以原式. 5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）； （2）已知，，求. 【解】（1）原式， ， ， （2）∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴. 6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1） （2）(a>0，b>0). （3）. 【解】 （1）原式 （2）原式＝. （3）原式. · 考点2 指数函数的图象及应用 [名师点睛] 1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． [典例]　 1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数（且）的图象如图所示，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为，由图得， 所以，所以排除AB， 因为由图象可知当时，， 所以，所以排除C， 故选：D 2．（2022·北京·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为. 另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点. 故选：B [举一反三]　 1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为. 故选：D 2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C； ②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A； 故选：AC · 考点3 指数函数