第10讲 幂函数与二次函数-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第10讲　幂函数与二次函数 1．幂函数 (1)定义 形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.　 (2)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx ＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 · 考点1 ****** [名师点睛] 1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)． [典例]　 1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（       ） A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且>1 C．m是偶数，n是奇数，且<1 D．m是奇数，n是偶数，且>1 【答案】C 【解析】 由图知幂函数f(x)为偶函数，且，排除B，D； 当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A； 故选：C. 2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（       ） A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6 【答案】B 【解析】 ∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数， ∴，且为偶数 或 当时，满足条件；当时，，舍去 因此：m＝1 故选：B 3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因幂函数的图象过点，则，且， 于是得，，函数，函数是R上的增函数， 而，则有， 所以. 故选：D [举一反三]　 1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由为奇函数且在上递增， A、B：、非奇非偶函数，排除； C：为奇函数，但在上不单调，排除； D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足. 故选：D 2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（       ） A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D 【解析】 设幂函数的解析式为， 将点的坐标代入解析式得，解得， ∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数， 故选：D. 3．（2022·全国·高三专题练习）函数与均单调递减的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 函数单调递减可得及； 函数单调递减可得，解得， 若函数与均单调递减，可得， 由题可得所求区间真包含于， 结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C. 故选：C. 4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（       ）． A．函数的定义域为 B．函数为非奇非偶函数 C．过点且与图象相切的直线方程为 D．若，则 【答案】BC 【解析】 设，将点代入， 得，则，即， 对于A：的定义域为，即选项A错误； 对于B：因为的定义域为， 所以不具有奇偶性，即选项B正确； 对于C：因为，所以， 设切点坐标为，则切线斜率为， 切线方程为，又因为切线过点， 所以，解得， 即切线方程为，即， 即选项C正确； 对于D：当时， ， 即成立，即选项D错误． 故选：BC． 5．（2022·海