第09讲 函数性质的综合问题-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第9讲　函数性质的综合问题 · 考点1 函数的单调性与奇偶性综合问题 [名师点睛] 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．　 [典例]　 1．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义在上的奇函数，则，因为，则. 因为函数在上为增函数，则函数在上也为增函数. 当时，由可得，则； 当时，由可得，则. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 2．（2022·天津市第一中学滨海学校高三阶段练习）已知函数在区间单调递增，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 又由函数在区间单调递增，可得在区间单调递减， 根据对数函数的性质，可得，即， 又因为，且， 所以，即. 故选：D. [举一反三]　 1．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：当时，， 易知当时，， 因为，所以， 所以当时，；当时，，综上，当时，． 故选：D． 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 对任意的、，总有，则， 令，可得，可得， 令时，则由，即， 当时，，即， 任取、且，则，即，即， 所以，函数在上为增函数，且有， 由，可得，即， 所以，，所以，，解得. 因此，不等式的解集为. 故选：A. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且满足，则关于的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数定义在上的奇函数，在单调减， 所以在单调减，且 若函数， 当时，，，此时无解； 当时，，可得，，此时无解； 当时，，可得，此时成立； 当时，可得，，所以， 所以当时，满足不等式， 令，可得函数的定义域为， 且，所以函数奇函数， 所以当时，满足不等式成立， 综上可得，不等式的解集为. 故选：B. 4．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数为定义在R上的奇函数，满足对，其中，都有，且，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】因为， 所以当时，， 令， 则在上单调递增， 又因为为定义在R上的奇函数, 所以是偶函数，且在上单调递减， 因为， 所以， 等价于或， 所以或， 即不等式的解集为. 故答案为：. · 考点2 函数的周期性与奇偶性综合问题 [名师点睛] 周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．　 [典例]　 1．（2022·全国·高三专题练习）设是上的奇函数且满足，当时，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意的，，即， 所以，函数是以为周期的周期函数，， 由于函数为的奇函数，且当时，， 因此，. 故选：D. 2．（2022·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为奇函数，所以①；又为偶函数， 所以②；令，由②得：，又， 所以，得， 令，由①得：； 令，由②得：，所以.得时，， 结合①②得，， 所以函数的周期为，所以. 故选：C [举一反三]　 1．（2022·全国·高三专题练习）偶函数对于任意实数x，都有成立，并且当时，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于函数为上的偶函数，则， ，所以，函数是以为周期的周期函数， 当时，，所以，． 故选：C． 2．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足：①图象关于原点对称；②；③当时，.若，则（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由①可知函数为奇函数，又，故，即函数的周期为3， ∴，解得. 故选：B. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于原点对称，且时，．当，时，，则（4） ． 【答案】 【解析】定义域为的函