专题05 解三角形的范围与最值问题（知识梳理+专题过关）-2021-2022学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题05 解三角形的范围与最值问题 【知识梳理】 知识点1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 知识点2.解三角形中的范围与最值问题常见题型： (1)求角的最值； (2)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围. 【专题过关目录】 过关1：角度与数量积的范围与最值 过关2：周长或边的范围与最值 过关3：面积的范围与最值 【典型例题】 过关1：角度与数量积的范围与最值 1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一期中）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 先根据条件可得，然后把化为，结合角的范围可得的取值范围. 【详解】 由和余弦定理得，又，∴． 因为三角形为锐角三角形，则，即，解得． ， ∵，即，所以， 则，因此，的取值范围是． 故选：A 【点睛】 三角形中的范围问题，一般有两个处理思路：（1）把目标式转化为关于边的代数式，结合基本不等式及三角形边长间的关系求解；（2）把目标式转化为单角函数式，结合角的范围求解. （多选题）2．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（       ） A．△ABC面积的最大值为 B．的最大值为 C． D．的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】 A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围. 【详解】 由余弦定理得：，解得：， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立， 所以，故，A正确； ， 其中由正弦定理得：， 所以 ， 因为，所以， 故最大值为，的最大值为， B正确； ， 故C错误； ， 因为，所以， 所以，D错误. 故选：AB 【点睛】 三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解. 3．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）在锐角中，，则角的范围是________，的取值范围为__________. 【答案】          【解析】 【分析】 由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得，的关系，结合锐角三角形条件可求，的范围，然后结合对勾函数的单调性可求． 【详解】 解：因为及， 所以， 由正弦定理得， 所以， 整理得， 即， 所以，即， 又为锐角三角形，所以，解得， 故，， 则 ， 令，则，在上单调递增，在上单调递减， 又，， 故，即． 故答案为：；． 4．（2022·全国·高一专题练习）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 由正弦定理化边为角可得，得出，再由三角形是锐角三角形得，化简，利用三角函数的性质即可得出. 【详解】 依题意，由正弦定理得， ，， 由于三角形是锐角三角形，所以. 由，可得， 所以 ， 由于，所以，所以. 故答案为：. 【点睛】 关键点睛：本题考查解三角形和三角函数性质的应用，解题的关键是利用正弦定理得出，再得出，将化为利用三角函数性质求解. 5．（2022·四川成都·高一期中（理））已知中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若，且满足． (1)求角A； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式计算可得； （2）根据数量积的定义及正弦定理得到，再根据，将两角的三角函数化为一角的三角函数，再利用两角和差的正弦公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得； (1) 解：因为， 由正弦定理可得， 即， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，又因为，所以； (2) 解： 又因为，所以，所以 所以. 6．（2022·全国·高一专题练习）已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，