押福建卷23题（较复杂的几何证明）-备战2022年中考数学临考题号押题（福建卷）

押福建卷第23题 较复杂的几何证明 中考对这部分较复杂几何知识运用的考查要求较高，均是简答题21~23题进行考查，一般难度较大，要求考生熟练掌握与平行线，三角形，多边形内角和与外角和，平行四边形，相似等有关的基础性质和定理． 在备考中，考生们需要掌握以下几点：图形平移与旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质及其面积公式，勾股定理。综合应用这些知识点是解题关键，有时需要作出合理辅助线。 1．（2018•福建）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D． （1）求∠BDF的大小； （2）求CG的长． 【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论； （2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到， ∴∠DAB=90°，AD=AB=10， ∴∠ABD=45°， ∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到， ∴AB∥EF， ∴∠BDF=∠ABD=45°； （2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF， ∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°， ∵∠DAB=90°， ∴∠ADE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ADE=∠ACB， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵AB=8，AB=AD=10， ∴AE=12.5， 由平移的性质得，CG=AE=12.5． 2．（2019•福建）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E． （1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小； （2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形． 【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，从而利用互余和计算出∠ADE的度数； （2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB＝AC，则BF＝AB，再根据旋转的性质得到∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，从而得到DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，接着证明△CFD≌△ABC得到DF＝BC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论． 【解答】（1）解：如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上， ∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°， ∵CA＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°， ∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°； （2）证明：如图2， ∵点F是边AC中点， ∴BF＝AC， ∵∠ACB＝30°， ∴AB＝AC， ∴BF＝AB， ∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB， ∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形， ∴BE＝CB， ∵点F为△ACD的边AC的中点， ∴DF⊥AC， 易证得△CFD≌△ABC， ∴DF＝BC， ∴DF＝BE， 而BF＝DE， ∴四边形BEDF是平行四边形． 3．（2019•福建） 如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：． 【分析】（1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明； （2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明． 【详解】证明：（1）在等腰直角三角形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）连接． 由平移性质得． ∴， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． 由（1）得， ∴， ∴，∴． 1．（2021—2022学年度泉州市初中教学质量监测2）如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边上． （1）求证：平分； （2）连接，求证：． 【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论． （2）根据旋转性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论． 【小问1详解】 证明：由旋转性质可知： 平分 【小问2详解】 证明：如图所示： 由旋转性质可知： 即 在中， 即 2．（南安市2022届毕业班数学科第一次模拟）如图：在平面直角坐标系中，