押福建卷25题（二次函数综合）-备战2022年中考数学临考题号押题（福建卷）

押福建卷第25题 二次函数综合 福建中考对二次函数知识的考查要求高，均是以14分简答题压轴的形式进行考查，难度大知识综合运用强，要求考生熟练掌握与二次函数有关的基础知识，图像性质以及几何相关计算与证明。作为压轴题需要突出的运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想。纵观近几年的中考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体二次函数的解析式．二是考查二次函数与几何证明，最值问题，角度问题，三角形相似、面积问题，角平分线问题． 在备考中，需要考生熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质、能求函数解析式，几何图形相关概念与性质定理，相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识。还需要能求函数中最值问题，定点问题，角度问题等。 1．（2018•福建）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°． （1）求抛物线的解析式； （2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题： ① 求证：BC平分∠MBN； ② 求△MBC外心的纵坐标的取值范围． 【分析】（1）由A的坐标确定出c的值，根据已知不等式判断出y1﹣y2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y轴，且开口向下，求出b的值，如图1所示，可得三角形ABC为等边三角形，确定出B的坐标，代入抛物线解析式即可； （2）①设出点M（x1，﹣x12+2），N（x2，﹣x22+2），由MN与已知直线平行，得到k值相同，表示出直线MN解析式，进而表示出ME，BE，NF，BF，求出tan∠MBE与tan∠NBF的值相等，进而得到BC为角平分线； ②三角形的外心即为三条垂直平分线的交点，得到y轴为BC的垂直平分线，设P为外心，利用勾股定理化简PB2=PM2，确定出△MBC外心的纵坐标的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵抛物线过点A（0，2）， ∴c=2， 当x1＜x2＜0时，x1﹣x2＜0，由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，得到y1﹣y2＜0， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， 同理当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，即b=0， ∵以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，如图1所示， ∴△ABC为等腰三角形， ∵△ABC中有一个角为60°， ∴△ABC为等边三角形，且OC=OA=2， 设线段BC与y轴的交点为点D，则有BD=CD，且∠OBD=30°， ∴BD=OB•cos30°=，OD=OB•sin30°=1， ∵B在C的左侧， ∴B的坐标为（﹣，﹣1）， ∵B点在抛物线上，且c=2，b=0， ∴3a+2=﹣1， 解得：a=﹣1， 则抛物线解析式为y=﹣x2+2； （2）①由（1）知，点M（x1，﹣x12+2），N（x2，﹣x22+2）， ∵MN与直线y=﹣2x平行， ∴设直线MN的解析式为y=﹣2x+m，则有﹣x12+2=﹣2x1+m，即m=﹣x12+2x1+2， ∴直线MN解析式为y=﹣2x﹣x12+2x1+2， 把y=﹣2x﹣x12+2x1+2代入y=﹣x2+2，解得：x=x1或x=2﹣x1， ∴x2=2﹣x1，即y2=﹣（2﹣x1）2+2=﹣x12+4x1﹣10， 作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足为E，F，如图2所示， ∵M，N位于直线BC的两侧，且y1＞y2，则y2＜﹣1＜y1≤2，且﹣＜x1＜x2， ∴ME=y1﹣（﹣1）=﹣x12+3，BE=x1﹣（﹣）=x1+，NF=﹣1﹣y2=x12﹣4x1+9，BF=x2﹣（﹣）=3﹣x1， 在Rt△BEM中，tan∠MBE===﹣x1， 在Rt△BFN中，tan∠NBF=====﹣x1， ∵tan∠MBE=tan∠NBF， ∴∠MBE=∠NBF， 则BC平分∠MBN； ②∵y轴为BC的垂直平分线， ∴设△MBC的外心为P（0，y0），则PB=PM，即PB2=PM2， 根据勾股定理得：3+（y0+1）2=x12+（y0﹣y1）2， ∵x12=2﹣y2， ∴y02+2y0+4=（2﹣y1）+（y0﹣y1）2，即y0=y1﹣1， 由①得：﹣1＜y1≤2， ∴﹣＜y0≤0， 则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣＜y0≤0． 2．（2019•福建）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式； （2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣