专题08 立体几何3种角度14种归类-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)

专题08 立体几何3种角度14种归类 目录 一、热点题型归纳 1 【题型一】 异面直线所成的角1：平移直线法（中位线平移法） 2 【题型二】 异面直线所成的角2：平行四边形、梯形法 5 【题型三】 异面直线所成的角3：垂直 7 【题型四】 异面直线俗称的角的范围与最值（难点） 9 【题型五】 异面直线所成的角：综合 13 【题型六】 直线和平面所成的角1：垂线法 16 【题型七】 直线和平面所成的角2：垂面法 18 【题型八】 直线和平面所成的角3：体积法（距离法） 20 【题型九】 线面角中的范围与最值 22 【题型十】 线面角：综合 24 【题型十一】 定义法求二面角的平面角 26 【题型十二】 二面角内的角度 28 【题型十三】 二面角内的距离 32 【题型十四】 综合角度：比大小（难点） 34 二、最新模考题组练 38 综述： 一、异面直线所成的角： 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 二、直线和平面所成的角 求直线与平面所成的角的一般步骤： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）通过建系，利用坐标系向量求解：直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，）， 三、二面角的平面角 作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 【题型一】异面直线所成的角1： 平移直线法（中位线） 【例1】如图∶已知A是所在平面外一点，，E、F分别是AB、CD的中点，若异面直线AD与BC所成角的大小为，AD与EF所成角的大小为_______________． 【答案】或 【分析】 利用异面直线夹角的定义知或其补角是异面直线AD与BC所成角，或其补角是异面直线AD与EF所成角，结合三角形内角和即可得解. 【详解】 取AC中点G，连接分别是的中点，， 或其补角是异面直线AD与BC所成角，或其补角是异面直线AD与EF所成角 又，，为等腰三角形， 若，则若，则 所以异面直线AD与EF所成角的大小为或故答案为：或 【例2】如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，且为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 连接、交于点，连接，说明异面直线与所成的角为或其补角，计算出、，即可求得，即可得出结论. 【详解】 连接、交于点，连接， 因为四边形为菱形，，则为的中点，且，因为为的中点，则， 所以，异面直线与所成的角为或其补角，平面，平面，， ，，平面，平面，， 设，因为，，则为等边三角形， 同理可知也为等边三角形，， 同理可得，，所以，. 因此，异面直线与所成的角的余弦值为.故选：D. 【例3】空间四边形ABCD的对角线，，M，N分别为AB，CD的中点，，则异面直线AC和BD所成的角等于（       ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】取BC的中点P，连接MP，NP，故或其补角即为异面直线AC和BD所成的角，利用余弦定理可求其大小. 【详解】 取BC的中点P，连接MP，NP，则且，且． 故或其补角即为异面直线AC和BD所成的角. 由余弦定理可知，， 而为三角形内角，故，故异面直线AC和BD所成的角为．故选：B． 【例4】在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角为（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由已知画出图形，找出异面直线与所成角，求解三角形得答案． 【详