备战2022届高考压轴题解法讲义系列之含参高端函数的分析策略(7)多变量分析法

备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略 （7）多变量分析法 【知识与方法储备】 对于含两个或者两个以上字母（通常为3个）的多变量问题，其基本分析思路：消元减元.先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有五种方式处理： （1）主元分析法：选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量问题就转化为传统的单变量问题了. （2）参变分离分析法：将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可. （3）换元分析法：观察其中两个变量的结构特征，利用整体思想进行换元处理或者引入新的变量表示题设中的变量，减少变量，再结合前两种方法处理. （4）放缩分析法：结合函数的不等式链放缩或者利用基本不等式放缩，减少变量. （5）几何意义分析法：观察其中变量的结构特征，是否蕴含几何意义，数形结合，减少变量. 上述五种方法，有联系又有区别，一般以一个为主，相辅相成，结合使用. 【常见题型与解法探究】 题型一、主元分析法 【罗师导航】合理选择已知范围的变量为主构造函数，一般选择原则构造简单函数或者基本函数优先 【典例1-1】已知函数.设 （1） 讨论函数f（x）的单调区间； （2）对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围． 【能力达标训练】 【1-1】已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【1-2】（多选）已知是定义在区间，上的奇函数，且（1），若，，，时，有．若对所有，，，恒成立，则实数的取值范围可能是（ ） A．(－∞，－6] B．(－6，6) C．(－3，5] D．[6，＋∞) 【1-3】已知函数若存在实数，对任意，都有，则的最大值是__________． 【1-4】已知定义在上的函数在区间上的最大值是，最小值是． (1)求函数的解析式； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围． 题型二、参变分离分析法 【罗师导航】一般的参变分离思路：代数分离(含构造分离）或者局部分离(含几何分离）等 【典例2-1】已知. (1)求证：仅有一个极值； (2)若存在，使对任意恒成立，求实数的取值范围. 【典例2-2】已知函数，．当，时，若恒成立，求的最大值． 【能力达标训练】 【2-1】当时，不等式，，恒成立，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D． 【2-2】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围. 【2-3】已知函数，．当，时，若恒成立，求ab的最大值． 题型三、换元分析法 【罗师导航】常见的换元思路：隐零点代换、设新元、整体替换等 【典例3-1】已知函数，，若，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【典例3-2】若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【典例3-3】若直线与函数的图象无交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【能力达标训练】 【3-1】若，令，则的最小值属于（    ） A． B． C． D． 【3-2】已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．16 【3-3】已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【3-4】已知函数.若在函数的定义域内，总有成立，试求的最大值. 【3-5】已知函数，，若，，求的最小值 题型四、放缩分析法 【罗师导航】常见的放缩思路：不等式的性质、函数不等式链(蕴含切线放缩）、均值不等式等 【典例4-1】已知，，函数．若恒成立，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【典例4-2】正实数，满足，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【能力达标训练】 【4-1】已知直线是曲线的切线，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D．3 【4-2】已知定义在上的奇函数满足：当及时，不等式恒成立.若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【4-3】已知实数，，满足且，若，则（   ） A． B． C． D． 【4-4】已知函数及其导数满足，，对满足的任意正数，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【4-5】实数，，满足.若不等式对任意的，都成立，则的取值范围是___________. 【4-6】已知，二次三项式对于一切实数x恒成立，又，使成立，则的最小值为____． 题型五、几何意义分析法 【罗师导航】常见的两元几何意义结构：斜率、距离、圆锥曲线的定义、图像的位置