备战2022届高考压轴题解法讲义系列之含参高端函数的分析策略(3)含参讨论法

备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略 （3）含参讨论法 【知识与方法储备】 研究含参高端函数自身的单调性一定用含参讨论法；研究含参高端函数自身的极值点、零点等，可用含参讨论法.对于不能分离参数或分离参数后结构复杂的数学问题，采用含参讨论法. 确定讨论的标准，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键. 【常见题型与解法探究】 题型一、讨论单调性 【例1-1】已知函数，，求函数的单调区间． 【例1-2】已知函数（，且），讨论函数的单调性. 【例1-3】已知，（其中为自然对数的底数），讨论函数的单调性. 【能力达标训练】 【1-1】已知函数，讨论函数的单调区间． 【1-2】已知函数， 讨论的单调性． 【1-3】已知函数（e是自然对数的底数，），讨论函数单调性． 【1-4】已知函数，讨论的单调性. 【1-5】已知，讨论函数的单调性． 题型二、讨论函数的零点（极值点） 【例2-1】已知函数g（x）=exsinx-bx，，讨论函数在上零点的个数.(参考数据：). 【例2-1】已知函数，为的导函数，讨论在区间内极值点的个数． 【能力达标训练】 【2-1】讨论函数在上的零点个数． 【2-2】已知函数． (1)讨论的单调性；(2)讨论零点的个数． 高中数学教学系列 学习数学的价值在于养成数学思维与数学方法，在于用数学知识去研究和解决问题！2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略 （3）含参讨论法 【知识与方法储备】 研究含参高端函数自身的单调性一定用含参讨论法；研究含参高端函数自身的极值点、零点等，可用含参讨论法.对于不能分离参数或分离参数后结构复杂的数学问题，采用含参讨论法. 确定讨论的标准，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键. 【常见题型与解法探究】 题型一、讨论单调性 【例1-1】已知函数，，求函数的单调区间． 【分析】对函数求导，进而讨论a的范围，最后得到函数的单调区间； 【详解】函数的定义域为， 时，恒成立，函数在上单调递增； 时，令，得． 当时，，函数为减函数； 当时，，函数为增函数． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【例1-2】已知函数（，且），讨论函数的单调性. 【分析】求导，令，然后由，讨论求解； 【详解】函数的定义域为，， 令，为二次函数，， ①当时，，，所以，故在单调递增； ②当时，，令， 得，，显然， 所以当，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减. 综上，当时， 在单调递增； 当时，在单调递增，在上单调递减. 【例1-3】已知，（其中为自然对数的底数），讨论函数的单调性. 【答案】时，增区间为：，减区间为：；时，增区间为：；时，增区间为：，减区间为： 【解析】 ∵，∴时，， ∴时，增区间为：，减区间为：； 时，，∴时，增区间为：； 时，，， ∴时，增区间为：，减区间为：； 综上，时，增区间为：，减区间为：；时，增区间为：；时，增区间为：，减区间为： 【能力达标训练】 【1-1】已知函数，讨论函数的单调区间． 【分析】求得，分，，和四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解； 【详解】由题意，函数的定义域为， 且， ①当时，令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； ②当时，令，解得或， 令，解得， 所以在，上单调递增，在上单调递减； ③当时，则，所以在上单调递增， ④当时，令，解得或， 令，解得， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 【1-2】已知函数， 讨论的单调性． 【答案】当时，在R上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论，和情况下，导数的正负，即可得到的单调性； 【详解】函数，求导 由，得， ①当时，，在R上单调递增； ②当时， 在有，故单调递增；在有，故单调递减；在有，故单调递增； ③当时， 在有，故单调递增；在有，故单调递减；在有，故单调递增； 综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 【1-3】已知函数（e是自然对数的底数，），讨论函数单调性． 【分析】求导可得，分、、、讨论可得答案； 【解析】的定义域为，， 当时，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，（不恒为零），故在上单调递增； 当时， 当或时，，当时，， 在