专题01 集合、常用逻辑用语、不等式（选填压轴题）-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题（新高考版）

专题01 集合、常用逻辑用语、不等式 （选填压轴题） 一、集合的新定义题 ①乘法运算封闭 ②“群”运算 ③“环”运算 ④“”运算 ⑤“”运算 ⑥戴德金分割 ⑦“类” ⑧差集运算 ⑨“势” ⑩“均衡集” ⑪“好集” 二、逻辑推理 ①充分性必要性 ②逻辑推理 三、不等式 ①作差法 ②作商法 ③基本不等式 一、集合的新定义题 1．（2022·上海市进才中学高三期中）设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是(       ) A．、中至少有一个关于乘法是封闭的 B．、中至多有一个关于乘法是封闭的 C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．、中每一个关于乘法都是封闭的 2．（2022·全国·高三专题练习）非空集合，且满足如下性质：性质一：若，，则；性质二：若，则.则称集合为一个“群”以下叙述正确的个数为（       ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且，，则； ③若，都是“群”，则必定是“群”； ④若，都是“群”，且，，则必定不是“群”； A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2022·全国·高三专题练习）“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①，，有 ②如，，，有； ③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元； ④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群． 例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（       ） A．，则为一个群 B．，则为一个群 C．，则为一个群 D．{平面向量}，则为一个群 4．（2022·全国·高三专题练习）设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（       ） A．若，则是U的一个环 B．若，则存在U的一个环F，F含有8个元素 C．若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且 D．若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且 5．（2022·全国·高三专题练习）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2022·上海·高三专题练习）对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素.例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“”： ①，运算“”为普通减法； ②，运算“”为矩阵加法； ③（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集. 其中对运算“”有单位元素的集合序号为（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 7．（2022·全国·高三专题练习）设集合，在集合上定义运算“”：，其中，为被4除的余数，、.则满足关系的的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（多选）（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（       ） A．关于数的乘法构成群 B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．关于数的加法构成群 9．（多选）（2022·黑龙江绥化·高一期末）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（       ） A．M没有最大元素，N有一个最小元素 B．M没有最大元