专题12 函数与方程-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题12 函数与方程 【考点预测】 一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 五、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【方法技巧与总结】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 【题型归纳目录】 题型一：求函数的零点或零点所在区间 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型四：嵌套函数的零点问题 题型五：函数的对称问题 题型六：函数的零点问题之分段分析法模型 题型七：唯一零点求值问题 题型八：分段函数的零点问题 题型九：零点嵌套问题 题型十：等高线问题 题型十一：二分法 【典例例题】 题型一：求函数的零点或零点所在区间 例1．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先判断函数是奇函数，由零点定义可知，，再经过变形，结合选项判断是否是函数的零点. 【详解】 因为，所以，所以函数是奇函数．由已知可得，即．所以，所以，故一定是的零点，故A正确，B错误； 又由，得，所以，故C错误；由，故D错误. 故选：A． 例2．（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数，则的所有零点之和为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据零点定义求出零点后可得． 【详解】 时，由得， 时，由得或， 所以四个零点和为． 故选：D． 例3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解. 【详解】 由已知条件得 的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标， 在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示, 可知， 故选：. 例4．（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数零点存在性定理判断即可 【详解】 函数 是上的连续增函数, , 可得, 所以函数 的零点所在的区间是. 故选：C 例5．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 依据函数零点存在定理去判断的零点所在的区间即可. 【详解】 为上的递增函数， ， ， ， 则函数的零点所在的区间为 故选：B 例6．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（       ） A．0或 B．0 C． D．0或 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，得到b＝－2a，再令g(x)＝0求解. 【详解】 因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2， 所以b＝－2a， 所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)． 令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－． 故选：A 例7．（2022·全国·高三专题练习）已知是函数的零点，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据零点定义可得，整理可得，根据此时可得成立，代入化简即可得解. 【详解】 根据题意可得， 整理可得， 可得当，即成立， 又， 代入可得. 故答案为：. 例8．（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】 根据给定条件，构造函数，，作出这两个函数的部分图象，确定