专题13 函数模型及其应用-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题13 函数模型及其应用 【考点预测】 1.几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，为常数且 反比例函数模型 ，为常数且 二次函数模型 ，，为常数且 指数函数模型 ，，为常数，，， 对数函数模型 ，，为常数，，， 幂函数模型 ，为常数， 2.解函数应用问题的步骤： (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型; (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 【题型归纳目录】 题型一：二次函数模型，分段函数模型 题型二：对勾函数模型 题型三：指数函数、对数函数模型 【典例例题】 题型一：二次函数模型，分段函数模型 例1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线米的点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据题意解出长度，设，得到，再分析求值域，判断取等条件即可求解. 【详解】 设，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：，， 所以，且， 所以， 又，所以，解得，即， 设，，则， ，所以在中， 有， 令，所以， 所以， 因为，所以，则要使最大， 即要取得最小值，即取得最大值， 即在取得最大值， 令， ， 所以的对称轴为：，所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值，即最大，此时，即， 所以，所以，即为获得最佳的射门角度（即最大）， 则射门时甲离上方端线的距离为：. 故选：B. 例2．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））如图，在矩形中，，，是的中点，点沿着边、与运动，记，将的面积表示为关于的函数，则（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【解析】 【分析】 分、、三种情况讨论，求出的边上的高，结合三角形的面积公式可得出的表达式. 【详解】 ，则，易得，， 所以，，则. 当时，点在线段上（不包括点），则， 此时，； 当时，点在线段上（不包括点），此时； 当时，点在线段上（不包括点）， 此时，则，则. 故选：C. 例3．（2022·上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元 【解析】 【分析】 （1）分和两种情况，由利润 = 销售收入—成本，知，再代入的解析式，进行化简整理即可， （2）当时，利用配方法求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可 (1) 当时， ， 当时， ， 所以年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式为 (2) 当时，， 所以函数在上单调递增，所以当时， 取得最大值1450， 当时， ， 当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1490， 因为， 所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元 例4．（2022·全国·高三专题练习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量. (1)将利润f(x)表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润) 【答案】(1)； (2)300，25000元. 【解析】 【分析】 (1)由题意，由总收益总成本利润可知，分及求利润，利用分段函数表示； (2)在及分别求函数的最大值或取值范围，从而确定函数的最大值．从而得到最大利润． (1) 由题意，当时，； 当时，； 故； (2) 当时，； 当时，(元 当时，(元 ， 当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000