第03讲平面向量的线性运算（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（沪教版）

第03讲平面向量的线性运算（核心考点讲与练） 【基础知识】 一：实数与向量相乘 1.平面向量的相关概念 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作； 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 2.平面向量的加减法则 几个向量相加的多边形法则； 向量减法的三角形法则； 向量加法的平行四边形法则． 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． 如果，且，那么的长度； 的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向． 如果k = 0或，那么． 4.实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 ；；． 平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 5.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作． 由实数与向量的乘积可知：，． 二：向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算． 如、、、等，都是向量的线性运算． 一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数． 2.向量的合成与分解 如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【考点剖析】 【考点1】实数与向量相乘 例题1（川中南2019期中8）__________ 例题2（闵行2020期末11）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么=_____. 例题3（普陀2019期中19）如图，已知两个不平行的向量、.先化简，再求作：.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量） 【考点2】向量的线性运算 例题4（川中南2019期中20）如图，中，点为上的一点，，与相交于点，如果. (1)用向量分别表示下列向量:. (2)在图中求作分别在和方向上的分向量(不写作法但要写出画图结果) 【过关检测】 一．选择题（共6小题） 1．（2022•普陀区二模）已知||＝1，||＝2，且与的方向相反，那么下列结论中正确的是（　　） A．2 B．2 C．2 D．2 2．（2021秋•徐汇区期末）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（　　） A． B．0 C． D．|||| 3．（2022•青浦区二模）已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2022•徐汇区二模）如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，下列选项中错误的是（　　） A． B．0 C．||＝|| D．2 5．（2022春•浦东新区校级期中）已知，非零向量，且||＝||+||，则一定有（　　） A． B．∥，且，方向相同 C． D．∥，且，方向相反 6．（2022春•浦东新区校级期中）在▱ABCD中，等于（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共7小题） 7．（2022春•松江区校级期中）已知向量为单位向量，则|﹣3|＝　 　． 8．（2022春•黄浦区期中）已知AD、BE是△ABC的中线，交于点O，设，，那么向量用向量、表示是 　 　． 9．（2022•长宁区二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且，点E是AC的中点，，，试用向量，表示向量，那么　 　． 10．（2022•浦东新区二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果，，那么用、表示是 　 　． 11．（2022•嘉定区二模）如图，点D，E，F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，，，用与的线性组合表示　 　． 12．（2022春•静安区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．已知，，那么　 　（用含有、的式子表示）． 13．（2022•青浦区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是AD上一点，ED＝2AE，联结BE交AC于F，若向量，向量，则向量　 　． 三．解答题（共5小题） 14．（2021秋•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DEBC． （1）如果AC＝6，求