1.7 定积分的简单应用讲义-2021-2022学年高二下学期数学人教A版选修2-2

1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 一、定积分在几何中的应用，即求曲边梯形的面积。此类问题的常见题型如下。 （1）利用定积分求平面图形的面积；（2）知图形的面积求参数；（3）与概率相交汇问题。 二、利用定积分求平面图形面积的基本步骤： （1）画出它的草图； （2）根据图形的特点选择适当的积分变量； （3）根据图形直观确定出被积函数，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分的上下限； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）利用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积。 【注】 1、由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用，但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决． 2、一般地，若以为积分变量时，被积函数的原函数不易确定，而且需要把图形分割求解，计算比较麻烦，而以为积分变量，正好可以避免这种繁琐的计算时，则选用为积分变量。选取积分变量有时对解题很关键。 3、以为积分变量的平面图形的面积的求法。 “型”区域面积的求法常见的有以下三种： （1）由一条曲线（其中）与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由得，再利用求出，如图⑴。 （2）由一条曲线（其中）与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由得，再利用求出，如图⑵。 （3）由两条曲线，与直线所围成的曲边梯形的面积，可由，先分别求出，，再利用求出，如图⑶。 三、知图形的面积求参数 求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． 四、与概率相交汇问题 此类问题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型。求解时，根据定积分的应用，得到阴影部分的面积，再由题意得到区域总面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果. 【注】 1、由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分． 2、根据定积分的几何意义和函数的奇偶性求解定积分．定积分的几何意义是表示曲线以下、x轴以上和直线之间的曲边梯形的面积，解题时要注意面积非负，而定积分的结果可以为负． 1.7.2 定积分在物理中的应用