专题10 对数与对数函数-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题10 对数与对数函数 【考点预测】 1.对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 2.对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【方法技巧与总结】 1.对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 【题型归纳目录】 题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 题型二：对数函数的图像 题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 题型四：对数函数中的恒成立问题 题型五：对数函数的综合问题 【典例例题】 题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算； （2）已知，求实数x的值； （3）若，，用a，b，表示． 【答案】（1）7；（2）109；（3）． 【解析】 （1）利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可； （2）利用指对互化可得实数x的值； （3）先求出，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果． 【详解】 （1）原式=； （2）因为，所以，所以，所以x=109； （3）因为，所以，所以 ． 例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求的值. （2）已知，，试用，表示 【答案】（1）18；（2）. 【解析】 【分析】 （1）首先根据题意得到原式，再利用换底公式化简即可得到答案. （2）首先根据题意得到，，再利用换底公式化简即可得到答案. 【详解】 （1）原式 （2）由得到， 由，得到，即. . 【点睛】 本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题. 例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：； （2）若60a＝3，60b＝5，求的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】 【分析】 （1）设，应用指对数的互化有，进而应用换底公式及对数的运算性质分别求、，即可证结论； （2）应用指对数互化有，应用对数的运算性质求，进而可求的值. 【详解】 （1）设，则. ∴， ∴， 而， ∴. （2）由题设知：， 得，， ∴， 则. 例4．（2022·全国·模拟预测）若，，则（       ） A．a＋b＝100 B．b－a＝e C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数和对数互化，得到a，b后逐项判断. 【详解】 对于A，由，，得，，所以，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：D． 例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数，满足，，，，，，则（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据得到，再利用换底公式得到，利用，即，求出，，所以. 【详解】 由，得，. 由，，所以， 所以，解得：，则，即， 所以，，所以， 故选：C. 例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由二次函数的性质判断区间单调性，根据解析式知恒过且，进而确定区间值域，再由对数函数性质求的对应区间值域，即可得不等式解集. 【详解】 由题设，对称轴为且图象开口向下，则在上递增，上递减， 由，即恒过且， 所以上，上， 而在上递增，且上，上， 所以的解集为. 故选：C 例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】 分、和，依次解不等式，再取并集即可. 【详解】 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，易知，解得； 当时，不等式为，解得； 综上，解集为：. 故答案为：. 例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数满足：（1），且，都有；（2），则___________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】，（logax，(0<a<1)都对） 【解析】 【分析】 满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质； 【详解】 对于条件①，不妨设，则，∵，∴ ∴，∴为上的单调递增函数，对于条件②，刚好符