专项七 基本不等式交汇拓展(解析版）

专项七 基本不等式交汇拓展 1.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三等”的内涵：一正，首先要判断参数是否为正；二定，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三等，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 2.利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值. 题组一 利用基本不等式求最值 1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)（多选题）已知a>0,b>0,且a+b=1,则 (　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 1.【解析】选ABD.因为a+b=1,所以由2(a2+b2)≥(a+b)2(当且仅当a=b时,等号成立),得a2+b2≥,故A项正确;由题意可得0<b<1,所以-1<a-b=1-2b<1,所以2a-b>,故B项正确;因为a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),所以ab≤,所以log2a+log2b≤log2=-2,故C项错误;由2(a+b)≥(当且仅当a=b时,等号成立),得+≤,故D项正确. 2. 已知，且，则的最小值为 . 2.【答案】9 【解析】∵，，，∴，∴，当且仅当时，等号成立，则的最小值为. 3.（多选题）已知,且,则（ ） A.的取值范围是 B.的取值范围是 C.的最小值是 D.的最小值是 3.【答案】B、D 【解析】因为, 所以,所以,解得,即,则A错误.因为.所以 ,所以,即,解得,则B正确.因为,所以，则,当且仅当,即时,等号成立.因为,所以,则C错误.,当且仅当;,即 时，等号成立,则D正确. 4.(2020·天津高考·T14)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　.  4.【答案】4 【解析】因为a>0,b>0,所以a+b>0,又ab=1, 所以++=++=+≥2=4,当且仅当a+b=4时取等号,结合ab=1,解得a=2-,b=2+,或a=2+,b=2-时,等号成立. 5.(2020·江苏高考·T12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　.  5.【答案】 【解析】法一：因为5x2y2+y4=1(x,y∈R),所以y≠0,所以x2=,则x2+y2=+y2≥2=, 当且仅当=y2时,即y2=,x2=时,x2+y2的最小值是. 法二：4=(5x2+y2)·4y2≤=,故x2+y2≥,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=,y2=时,取等号.所以=. 6.(2018·天津卷·T13)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　.   6.【答案】 【解析】因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6,2a+=2a+=2a+2-3b≥2=2= 2=(当且仅当2a==,即a=-3,b=1时取等号),所以2a+的最小值为. 题组二 基本不等式中的不等式恒成立问题 1.已知、,若恒成立,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 1.【答案】D 【解析】因为、,由已知得,因为 ,当且仅当时等号成立,故实数的取值范围为. 2.当时，不等式恒成立，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2.【答案】A 【解析】 当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则∴. 3．已知，若不等式恒成立，则的最大值为_________． 3.【答案】16 【解析】因为，所以恒成立等价于 恒成立，因为( 时等号成立) ，所以 ，的最大值为. 题组三 以直线为载体考查基本不等式 1．若直线过点，则的最小值为（ ） A．27 B．30 C．33 D．36 1.【答案】A 【解析】因为直线过点，所以，所以，当且仅当，时，等号成立. 2.已知函数的图像恒过定点A，若点A在直线 上，其中 ，则的最小值是（ ） A．9 B．4 C． D．8 2.【答案】C 【解析】由题得A(-2,-2),所以-2m-2n+4=0,所以m+n=2,所以=.当且仅当时取到最小值.故选C. 3.在平面直角坐标系中，已知点，点，点在线段的延长线上.设直线与直线及轴围成的三角形面积为，则的最小值为____________. 3.【答案】12 【解析】点，直线方程为，点在线段的延长线上，设，当时，，当，且时，直线方程为，令，，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为12. 题组四 以圆锥曲线为载体考查基本不等式 1．（2