专题08 幂函数与二次函数-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题08 幂函数与二次函数 【考点预测】 1.幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. (3)幂函数的图象和性质 3.常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 5．二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.O 图2-9 O 图2-8 （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 6.二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 【方法技巧与总结】 1.幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3.一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4.有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 【题型归纳目录】 题型一：幂函数的定义及其图像 题型二：幂函数性质的综合应用 题型三：二次方程的实根分布及条件 题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 【典例例题】 题型一：幂函数的定义及其图像 例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ） A． B．0或2 C．0 D．2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数为幂函数求出，再验证单调性可得. 【详解】 因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上为减函数，不符合题意， 当时，在上为增函数，符合题意， 所以. 故选：D. 例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【解析】 【分析】 根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p、q的取值情况. 【详解】 因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数， 又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0， 又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确. 故选：D 例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】 点坐标代入幂函数解析式，求得，然后计算函数值． 【详解】 点A（4，2）代入幂函数解得，， 故答案为：． 例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调