专题09 指数与指数函数-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题09 指数与指数函数 【考点预测】 1.指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2.指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【方法技巧与总结】 1.指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 【题型归纳目录】 题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 题型二：指数函数的图像及性质 题型三：指数函数中的恒成立问题 题型四：指数函数的综合问题 【典例例题】 题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：______． 【答案】18 【解析】 【分析】 根据指对数幂的计算公式求解即可 【详解】 故答案为：18 例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 将原不等式变为，设，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】 由，可得. 令， 因为均为上单调递减函数 则在上单调逆减，且， ， 故不等式的解集为. 故答案为：. 例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（       ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】 【分析】 令，则方程可化为，根据甲计算出常数，根据乙计算出常数，再将 代入关于x的方程解出 即可 【详解】 令，则方程可化为，甲写错了常数b， 所以和是方程的两根，所以， 乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以， 则可得方程，解得， 所以原方程的根是或 故选：D 例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由是R上的奇函数求出a值，并求出时，函数的解析式，再分段讨论解不等式作答. 【详解】 因函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则，解得，即当时，， 当时，，则， 而当时，，则当时，，即， 变形得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 例5．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1） （2）(a>0，b>0). （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案. 【详解】 （1）原式 （2）原式＝. （3）原式. 【方法技巧与总结】 利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 题型二：指数函数的图像及性质 例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数，的图象如图所示，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 依据图像列不等式求得的取值范围，即可进行选择 【详解】 由图像可知，当时，，则时，，则， 又由图像不关于原点中心对称可知，则 则时，，即，则 故选：C 例7．（2022·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 将问题转化为与只有一个交点，画出的图象，应用数形结合法求m的取值范围. 【详解】 由题设，与只有一个交点， 又的图象如下： ∴. 故选：C. 例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数，下列关于函数的说法错误的是（       ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．不等式的解集是 D．是增函数