第06讲 函数及其表示-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第6讲　函数及其表示　 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． · 考点1 函数的概念 [名师点睛] （1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素. （2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同 [典例]　 1．（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（       ） A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】 根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足. 故选：C. 2．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，，是同一函数的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】 解：对于A选项，的定义域为，的定义域为，故不满足； 对于B选项，的定义域为，的定义域为，故不满足； 对于C选项，的定义域为，的定义域为，故不满足； 对于D选项，，的定义域均为，对应关系均为，故是同一函数. 故选：D [举一反三]　 1．（2022·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（        ） A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】 若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点， 若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点， 故选：B. 2．（2022·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A．y=x-1和y= B．y=x0和y=1 C．f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D．f(x)=和g(x)= 【答案】D 【解析】 对于A，函数y=x-1定义域是R，函数y=定义域是，A不是； 对于B，定义域是，函数y=1定义域是R，B不是； 对于C，和对应法则不同，C不是； 对于D，f(x)= 和g(x)=定义域都是，并且对应法则相同，D是. 故选：D 3．（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】 对于A：定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项A不正确； 对于B：定义域为，的定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项B不正确； 对于C：的定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项C不正确； 对于D：由可得，解得：，所以的定义域为，由可得，所以函数的定义域为且，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D正确， 故选：D. · 考点2 函数的定义域 [名师点睛] 1．根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 2．求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 3．求函数定义域应注意的问题 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化； (2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．　　 4.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤 (1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题； (2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围． [典例]　 1．（2022·北京·模拟预测）函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】 由题意可