第08讲 函数的奇偶性及周期性-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第8讲　函数的奇偶性及周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 常用结论 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． · 考点1 函数的奇偶性 [名师点睛] 1.函数具有奇偶性包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域． (2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立． 2.利用函数奇偶性可以解决的问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值． (4)画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． [典例]　 1．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)＝＋； （2）f(x)＝(x＋1)； （3）f(x)＝. （4）f(x)＝ 【解】（1）由得x＝±3. ∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0. 即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数． （2）由得－1<x≤1. ∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． （3）由得－2≤x≤2且x≠0. ∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．此时，有f(x)＝＝， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． （4）当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1， －x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1， －x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． 2．（2022·山东·青岛二中高三期末）设函数的定义域为R且满足是奇函数，则f（2）=（       ） A．－1 B．1 C．0 D．2 【答案】C 【解析】 令，因为为奇函数，所以， 故选：C. 3．（2022·河南·高三阶段练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为为奇函数，所以，即． 当时，，． 故选：C 4．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（       ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】 由为奇函数， 所以， 所以，可得， 解得， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域为符合题意， 故选：D [举一反三]　 1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数，则下列函数是奇函数的是（       ） A．f(x)+1 B．f(x)－1 C．f(x+1) D．f(x－1) 【答案】C 【解析】 的图象是由的图象向右平移1个单位得出的，因此其图象关于点对称，只有把的的图象向左平移1个单位，图象才会关于原点对称， 所以只有，是奇函数． 故选：C． 2．（2022·山东菏泽·高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析式是（