第07讲 函数的单调性与最值-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第7讲　函数的单调性与最值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 · 考点1 函数的单调性 [名师点睛] 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断． (2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数． (3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． [典例]　 1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 二次函数的对称轴为，且在上的单调递增区间为， 根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间是. 故选：B. 2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性. 【解】任取、，且，，则： ， 当时，，即，函数在上单调递减； 当时，，即，函数在上单调递增. [举一反三]　 1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 令，解得， 令，则， ∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增， ∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是 故选：C 2．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 令，．由，得． 因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数， 所以函数的单调减区间是． 故选：C. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A．递增区间是 B．递减区间是 C．递增区间是 D．递增区间是 【答案】D 【解析】 因为函数，作出函数的图象， 如图所示： 由图可知，递增区间是，递减区间是和． 故选：D． 4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】 因为在上为减函数，所以只要求的单调递减区间，且. 由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是. 因此，函数的单调递增区间为、. 故选：C. 5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在上是单调递增函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 选项A. 函数在上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足； 选项B. 由复合函数的单调性可知函数在上单调递减，故不满足； 选项C. 函数在上单调递减，故不满足； 选项D. 函数在上单调递增，故满足， 故选：D 6．（2022·全国·高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________． 【答案】     ，     ， 【解析】 作出函数y=|-x2+2x+1|的图像，如图所示， 观察图像得，函数y=|-x2+2x+1|在和上单调递增，在和上单调递减， 所以原函数的单调增区间是，，单调递减区间是，. 故答案为：，；， 7．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【解析】 ，解得， 令， 对称轴为，所以函数在为单调递增；在上单调递减. 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数________. ①定义域为；②值域为；③对任意且，均有. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 ，定义域为；，，值域为； 是增函数，满足对任意且，均有. 故答案为：（答案不唯一）. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）lg．